《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

23.甲、乙两家汽车出租公司均有50辆汽车对外出租.
甲公司经理:如果我公司每辆汽车的月租费为3000元,那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元,将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车的月租费为3500元.无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润= 月租费一月维护费;③两公司月利润差= 月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在两家公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当两家公司租出的汽车都为10辆时,甲公司的月利润是______元;当两家公司租出的汽车都为______辆时,两家公司的月利润相等.
(2)求两公司月利润差的最大值.
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车就捐出$a(a＞0)$元给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,两公司月利润差最大,求$a$的取值范围.

答案：
(1)48000　37 提示:[(50−10)×50+3000]×10−200×10=48000,当两家公司租出的汽车都为10辆时，甲公司的月利润是48000元.设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得[(50−x)×50+3000]x−200x=3500x−1850,解得x=37或x=−1(舍去)，
∴当两家公司租出的汽车都为37辆时，两家公司的月利润相等.
(2)设两家公司租出的汽车都为x辆，两家公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y，则y甲=[(50−x)×50+3000]x−200x=−50x²+5300x,y乙=3500x−1850.当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y=y甲−y乙=−50x²+1800x+1850,当x=−$\frac{1800}{−50×2}$=18时,两公司月利润差最大,为18050元;当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y=y乙−y甲=50x²−1800x−1850,抛物线对称轴为直线x=−$\frac{−1800}{50×2}$=18,当x=50 时，两公司月利润差最大，为33150元.综上所述，两公司月利润差的最大值为33150元.
(3)捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司的月利润,则利润差y'=−50x²+1800x+1850−ax=−50x²+(1800−a)x+1850,抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1800−a}{100}$,
∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车都为17辆时，两公司月利润差最大，
∴16.5＜$\frac{1800−a}{100}$＜17.5,解得50＜a＜150.

24.某公园的一种水上娱乐项目如图①.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图,如图②,人从点$A处沿水滑道下滑至点B$处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为$x$轴,过腾空点$B与x轴垂直的直线为y$轴,$O$为坐标原点,建立平面直角坐标系.把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.\
(1)如图②,点$B与地面的距离为2\ m$,水滑道的最低点$C与地面的距离为\frac{7}{8}\ m$,点$C到点B的水平距离为3\ m$,求水滑道$ACB$所在抛物线的解析式.\
(2)如图②,腾空点$B与对面水池边缘的水平距离OE= 12\ m$,人腾空后的落点$D与水池边缘的安全距离DE不少于3\ m$.已知某人腾空后的抛物线形路径($B到D$)的最高点与地面的距离为$\frac{25}{8}\ m$,与点$B的水平距离为3\ m$.
①请写出此人腾空后的路径$BD$所在的抛物线的解析式.
②此人腾空飞出后的落点$D$是否在安全范围内?请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计).
(3)为消除安全隐患,公园计划对水滑道进行加固.如图③,水滑道已经有两条加固钢架,一条是水滑道距地面$4\ m的点M处竖直支撑的钢架MN$,另一条是点$M与点B之间连接支撑的钢架BM$.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架,为了美观,要求这条钢架与$BM$平行,且与水滑道有唯一公共点,一端固定在钢架$MN$上,另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号).\

答案：
(1)根据题意，得到水滑道ACB所在抛物线的顶点为C(−3,$\frac{7}{8}$),且过点B(0,2)，设水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=a(x+3)²+$\frac{7}{8}$,将B(0,2)代入，得2=a(0+3)²+$\frac{7}{8}$,即9a=$\frac{9}{8}$,
∴a=$\frac{1}{8}$,
∴水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=$\frac{1}{8}$(x+3)²+$\frac{7}{8}$.
(2)①根据题意，人腾空后的路径所在的抛物线最高点为(3,$\frac{25}{8}$),则可设人腾空后的路径所在的抛物线的解析式为y=a(x−3)²+$\frac{25}{8}$.
∵人腾空后的路径所在的抛物线经过点B(0,2)，
∴2=a(0−3)²+$\frac{25}{8}$,解得a=−$\frac{1}{8}$,
∴人腾空后的路径BD所在的抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{8}$(x−3)²+$\frac{25}{8}$.②人腾空后的路径所在的抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{8}$(x−3)²+$\frac{25}{8}$,令y=0,则−$\frac{1}{8}$(x−3)²+$\frac{25}{8}$=0,即(x−3)²=25，解得x=8或x=−2(不符合题意，舍去)，
∴点D的坐标为(8,0)，
∴OD=8m.
∵OE=12m,
∴DE=OE−OD=4m＞3m,
∴此人腾空飞出后的落点D在安全范围内.
(3)根据题意，可得点M的纵坐标为4，令y=$\frac{1}{8}$(x+3)²+$\frac{7}{8}$=4,即(x+3)²=25，解得x=2(舍去,不符合题意)或x=−8,
∴M(−8,4).设BM所在直线的解析式为y=kx+b'，将B(0,2),M(−8,4)代入,得$\begin{cases}2=b' \\ 4=-8k+b'\end{cases}$,解得$\begin{cases}b'=2 \\ k=-\frac{1}{4}\end{cases}$,
∴BM所在直线的解析式为y=−$\frac{1}{4}$x+2.如图,设这条钢架为GH,与MN交于点G,与地面交于点H,
∵这条钢架与BM平行，
∴设GH所在直线的解析式为y=−$\frac{1}{4}$x+n,与水滑道所在抛物线的解析式联立，得$\begin{cases}y=-\frac{1}{4}x+n \\ y=\frac{1}{8}(x+3)^2+\frac{7}{8}\end{cases}$整理,得x²+8x+16−8n=0,
∵该钢架与水滑道有唯一公共点，
∴Δ=8²−4×1×(16−8n)=0,解得n=0,
∴GH所在直线的解析式为y=−$\frac{1}{4}$x,
∴点H与点O重合，
∵GN=−$\frac{1}{4}$×(−8)=2,NO=8,∠GNO=90°,
∴GH= $\sqrt{GN²+NO²}$=2$\sqrt{17}$,
∴这条钢架的长度为2$\sqrt{17}$m.