《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

11.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB= 90°,BC= 6,AC= 12,点D在AC上,且AD= 8.将线段AD绕点A旋转至AD′,F为BD′的中点.线段CF的最大值为多少？

答案：
如图,取AB的中点M,连接MF和CM，
∵将线段AD绕点A旋转至$AD'$，
∴$AD'=AD=8$.
∵$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=12$,$BC=6$,
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=6\sqrt{5}$
∵M为AB的中点，
∴$CM=3\sqrt{5}$
∵M为AB的中点，F为$BD'$的中点，
∴$FM=4$,当且仅当M,F,C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时,$CF=CM+FM=4+3\sqrt{5}$

12.在△ABC中,∠B= ∠C= α(0°＜α＜45°),AM⊥BC于点M,点D是线段MC上的动点(不与点M,C重合),将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.
(1)如图①,当点E在线段AC上时,求证：点D是线段MC的中点.
(2)如图②,若在线段BM上存在点F(不与点B,M重合)满足DF= DC,连接AE,EF,写出∠AEF的大小,并证明.

答案：

(1)证明:由旋转的性质得$DM=DE$,$\angle MDE=2\alpha$,
∵$\angle C=\alpha$,
∴$\angle DEC=\angle MDE-\angle C=\alpha$,
∴$\angle C=\angle DEC$,
∴$DE=DC$,
∴$DM=DC$,即点D是线段MC的中点.
(2)$\angle AEF=90^{\circ}$.证明:延长FE到H使$EH=FE$,连接CH,AH，AF,
∵$DF=DC$,
∴DE是$\triangle FCH$的中位线，
∴$DE// CH$,$CH=2DE$,由旋转的性质得$DM=DE$,$\angle MDE=2\alpha$,
∴$\angle FCH=2\alpha$,
∵$\angle B=\angle ACB=\alpha$,
∴$\angle ACH=\alpha$,$\triangle ABC$是等腰三角形，
∴$\angle B=\angle ACH$,$AB=AC$.
∵$AM\perp BC$,
∴$BM=CM$,
∴$BF=BM - FM=CM-(DF - DM)=CM - DC+DM=2DM=2DE=CH$.在$\triangle ABF$和$\triangle ACH$中,$\begin{cases}AB = AC\\\angle B=\angle ACH\\BF = CH\end{cases}$
∴$\triangle ABF\cong\triangle ACH(SAS)$,
∴$AF=AH$.
∵$EH=FE$,
∴$AE\perp FH$,即$\angle AEF=90^{\circ}$.