《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

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|名称|外心(三边中垂线的交点,外接圆的圆心)|内心(三条角平分线的交点,内切圆的圆心)|
|性质|外心到三角形三个顶点的距离相等|内心到三角形三边的距离相等|
|位置|外心不一定在三角形内|内心一定在三角形内|
|角度关系|$\angle BOC= 2\angle BAC$|$\angle BOC= 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$|
|相关概念与结论|中垂线,勾股定理,垂径定理,三线合一|$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}C_{\triangle ABC}\cdot r$($C_{\triangle ABC}$为三角形周长),直角三角形中$r= \frac{a+b-c}{2}$($c$为三角形斜边长)|

答案： 【解析】：
本题主要考查了三角形外心与内心的性质、位置、角度关系以及相关概念与结论。
对于外心，需要理解外心是三边中垂线的交点，是外接圆的圆心，掌握外心到三角形三个顶点的距离相等这一性质，以及外心不一定在三角形内，同时了解$\angle BOC= 2\angle BAC$的角度关系，还有中垂线、勾股定理、垂径定理、三线合一等相关概念与结论。
对于内心，要知道内心是三条角平分线的交点，是内切圆的圆心，明白内心到三角形三边的距离相等，内心一定在三角形内，以及$\angle BOC= 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$的角度关系，还有$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}C_{\triangle ABC}\cdot r$（$C_{\triangle ABC}$为三角形周长），直角三角形中$r= \frac{a+b-c}{2}$（$c$为三角形斜边长）等相关概念与结论。
【答案】：
本题主要围绕三角形外心与内心的相关知识进行考查，包括外心和内心的定义、性质、位置、角度关系以及相关计算结论等内容。

例1 如图,点I和点O分别是$\triangle ABC$的内心和外心,则$\angle AIB和\angle AOB$的关系为( ).
A.$\angle AIB= \angle AOB$
B.$\angle AIB\neq\angle AOB$
C.$2\angle AIB-\frac{1}{2}\angle AOB= 180^{\circ}$
D.$2\angle AOB-\frac{1}{2}\angle AIB= 180^{\circ}$
分析：$\angle AIB和\angle AOB都与\angle C$有关系,$\angle AOB= 2\angle C$,$\angle AIB= 180^{\circ}-(\angle IAB+\angle IBA)= 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle CAB+\angle CBA)= 180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)= 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$.
解：$\because$点O为$\triangle ABC$的外心,$\therefore\angle AOB= 2\angle C$.又$\because$点I为$\triangle ABC$的内心,$\therefore\angle AIB= 180^{\circ}-(\angle IAB+\angle IBA)= 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle CAB+\angle CBA)= 180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)= 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$,$\therefore2\angle AIB-\frac{1}{2}\angle AOB= 180^{\circ}$.故选C.

答案： 【解析】：本题可根据三角形外心与内心的性质，分别得出$\angle AOB$与$\angle C$、$\angle AIB$与$\angle C$的关系，进而得出$\angle AIB$与$\angle AOB$的关系。
步骤一：根据外心的性质求出$\angle AOB$与$\angle C$的关系
因为点$O$为$\triangle ABC$的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可知$\angle AOB$是圆心角，$\angle C$是圆周角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{AB}$，所以$\angle AOB = 2\angle C$。
步骤二：根据内心的性质求出$\angle AIB$与$\angle C$的关系
因为点$I$为$\triangle ABC$的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，所以$\angle IAB=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle IBA=\frac{1}{2}\angle CBA$。
在$\triangle AIB$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AIB = 180^{\circ}-(\angle IAB + \angle IBA)$，将$\angle IAB=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle IBA=\frac{1}{2}\angle CBA$代入可得：
$\angle AIB = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle CAB + \angle CBA)$
又因为在$\triangle ABC$中，$\angle CAB + \angle CBA = 180^{\circ}-\angle C$，所以：
$\angle AIB = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)= 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$
步骤三：求出$\angle AIB$与$\angle AOB$的关系
将$\angle AOB = 2\angle C$变形为$\angle C=\frac{1}{2}\angle AOB$，代入$\angle AIB = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$可得：
$\angle AIB = 90^{\circ}+\frac{1}{4}\angle AOB$
等式两边同时乘以$2$得：$2\angle AIB = 180^{\circ}+\frac{1}{2}\angle AOB$
移项可得：$2\angle AIB-\frac{1}{2}\angle AOB = 180^{\circ}$
【答案】：C