《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

10. 如图,点A,B,C均在⊙O上,AB的垂直平分线和CA及BC的延长线分别交于点D和点E.求证：$∠ECD= ∠DOA$.

答案： 连接OB，记射线OG与圆交点为F,
∵OG⊥AB,
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BF}$,
∴∠AOF=∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB.
∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB,
∴∠AOF=∠ACB,
∴∠ECD=∠DOA.

11. 如图①,▱ABCD为⊙O内接四边形,$\widehat{AB}= \widehat{AD}$.
(1)求证：四边形ABCD为正方形.
(2)若F为$\widehat{AB}$上一点,E为$\widehat{CD}$上一点,$\widehat{AF}= \widehat{CE}$.若$AF= 1$,$BF= 3\sqrt{2}$,求AE的长.

答案：
(1)证明:
∵□ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠B+∠D=180°,∠B=∠D,
∴∠B=∠D=90°,
∴□ABCD为矩形.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,
∴AB=AD,
∴矩形ABCD为正方形.
(2)连接AC,作BH⊥AF交AF的延长线于点H.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ACB=45°.
∵四边形AFBC为圆内接四边形,
∴∠AFB+∠ACB=180°,
∴∠AFB=135°,∠HFB=45°.
∵BH⊥AF,
∴BH=FH.
∵BH²+HF²=BF²,
∴BH=HF=3,AH=AF+HF=4.
∵AB²=AH²+BH²=25,
∴AB=5,AC²=AB²+BC²=50,AC=5$\sqrt{2}$.
∵∠ABC+∠AEC=180°,
∴∠AEC=90°,
∴AE²+EC²=AC².
∵$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CE}$,
∴AF=CE=1,
∴AE=7.

12. 已知⊙O的半径为2,AB,CD是⊙O的直径,P是$\widehat{BC}$上任意一点,过点P分别作AB,CD的垂线,垂足分别为N,M.
(1)如图①,若直径$AB⊥CD$,在点P(与点B,C不重合)从B运动到C的过程中,证明MN的长为定值,并求出这个定值.
(2)若直径AB与CD相交成$120^\circ$角.
①当点P运动到$\widehat{BC}的中点P_1$时(如图②),求MN的长.
②在点P(与点B,C不重合)从B运动到C的过程中(如图③),证明MN的长为定值.
(3)试问当直径AB与CD相交成多少度角时,MN的长取最大值？并写出其最大值.

答案：
(1)可证四边形PMON是矩形.
∴MN=OP,
∵OP=2,
∴MN的长为定值2.
(2)①连接OP₁,则OP₁=2.
∵P₁是$\overset{\frown}{BC}$的中点,AB与CD相交成120°角,
∴∠BOP₁=∠COP₁=60°.
∵P₁M⊥CD,P₁N⊥AB,
∴∠OP₁M=∠OP₁N=30°,
∴∠MP₁N=60°,P₁M=P₁N,
∴△MP₁N是等边三角形,
∴MN=P₁M=P₁N=$\sqrt{3}$.②如图①,连接OP,则OP=2,取OP的中点O',并连接O'M,O'N,
∵∠PMO=∠PNO=90°,
∴点O,M,P,N都在以OP为直径的⊙O'上,
∴O'M=O'N=$\frac{1}{2}$OP=1.
∵∠MON=120°,
∴∠MPN=60°,
∴∠MO'N=2∠MPN=120°,
∴∠O'MN=∠O'NM=30°,过点O'作O'E⊥MN于点E,则O'E=$\frac{1}{2}$O'M=$\frac{1}{2}$,
∴ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴MN=2ME=$\sqrt{3}$.
(3)如图②,连接OP,则OP=2.取OP的中点O',并分别连接O'M,O'N,
∵∠PMO=∠PNO=90°,
∴点O,M,P,N都在以OP为直径的⊙O'上,
∴O'M=O'N=$\frac{1}{2}$OP=1,
∴MN≤O'M+O'N=2,且当点M,O',N在同一条直线上时等号成立,此时∠MO'N=180°,则∠MPN=$\frac{1}{2}$∠MO'N=90°.
∵点O,M,P,N四点共圆,
∴∠MON=180°-∠MPN=180°-90°=90°,
∴当直径AB与CD相交成90°角时,MN的长取最大值,最大值为2.