《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1.顶点在______上,并且两边都与圆______的角叫做______.

答案： 【解析】：
这是一道关于圆的基础知识的填空题，考查的是圆周角的定义。根据圆周角的定义，我们可以知道，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。
【答案】：
圆；相交；圆周角。

2.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角______；都等于这条弧所对的______的一半.

答案： 【解析】：
本题考查的是圆周角定理的知识点。在同圆或等圆中，如果两个圆周角是由同一条弧或等长的弧所确定的，那么这两个圆周角是相等的。同时，这些圆周角的度数都等于这条弧所对的圆心角的一半。
【答案】：
相等；圆心角。

3.半圆(或直径)所对的圆周角是______,90°的圆周角所对的弦是______.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆周角定理及其推论。
首先，根据圆周角定理，我们知道一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。特别地，当圆心角为$180^\circ$（即半圆或直径所对的圆心角）时，圆周角就是$90^\circ$。
其次，对于$90^\circ$的圆周角，我们可以利用圆周角定理的逆定理来推断它所对的弦的性质。逆定理告诉我们，如果一个圆周角等于$90^\circ$，那么它所对的弦一定是直径。
【答案】：
直角（或 $90^\circ$）；直径。

例1 如图,$\odot O$的半径是2,直线$l与\odot O相交于A,B$两点,$M,N是\odot O$上的两个动点,且在直线$l$的异侧,若$\angle AMB= 45^{\circ}$,则四边形$MANB$面积的最大值是______.

分析：过点$O作OC\perp AB$,垂足为$C$,直线$OC交\odot O于点D,E$,连接$OA,OB,DA,DB,EA,EB$,可证$\triangle OAB$为等腰直角三角形,所以$AB= \sqrt{2}OA= 2\sqrt{2}$.由于$S_{四边形MANB}= S_{\triangle MAB}+S_{\triangle NAB}$,当$\triangle MAB与\triangle NAB$的面积均最大时,四边形$MANB$的面积最大.
解：过点$O作OC\perp AB$,垂足为$C$,直线$OC交\odot O于点D,E$,连接$OA,OB,DA,DB,EA,EB$,如图.
$\because \angle AMB= 45^{\circ}$,$\therefore \angle AOB= 2\angle AMB= 90^{\circ}$,$\therefore \triangle OAB$为等腰直角三角形,$\therefore AB= \sqrt{2}OA= 2\sqrt{2}$.$\because S_{四边形MANB}= S_{\triangle MAB}+S_{\triangle NAB}$.当点$M运动到点D$,点$N运动到点E$时,四边形$MANB$面积有最大值,此时$S_{四边形DAEB}= S_{\triangle DAB}+S_{\triangle EAB}= \frac{1}{2}AB\cdot CD+\frac{1}{2}AB\cdot CE= \frac{1}{2}AB\cdot DE= \frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 4= 4\sqrt{2}$.

答案： 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，直线OC交⊙O于点D，E，连接OA，OB，DA，DB，EA，EB。
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°。
∵OA=OB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=√(OA²+OB²)=√(2²+2²)=2√2。
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，且AB为定值，
∴当点M到AB的距离与点N到AB的距离之和最大时，四边形MANB面积最大。
当点M运动到点D，点N运动到点E时，点M、N到AB的距离之和最大，最大值为DE=4。
∴四边形MANB面积的最大值为1/2×AB×DE=1/2×2√2×4=4√2。
故答案为4√2。

例2 已知$\odot O$的直径为10,点$A,B,C在\odot O$上,$\angle CAB的平分线交\odot O于点D$.
(1)如图①,若$BC为\odot O$的直径,$AB= 6$,求$AC,BD,CD$的长.
(2)如图②,若$\angle CAB= 60^{\circ}$,求$BD$的长.
分析：(1)先判定$\triangle CAB和\triangle DCB$是直角三角形,便可求出$AC$的长度,再证$\triangle DCB$是等腰三角形,得到$BD= CD= 5\sqrt{2}$.
(2)连接$OB,OD$.可证$\triangle OBD$是等边三角形,则$BD= OB= OD= 5$.
解：(1)如图①,$\because BC$是直径,$\therefore \angle CAB= \angle BDC= 90^{\circ}$.$\because在Rt\triangle CAB$中,$BC= 10$,$AB= 6$,$\therefore AC= \sqrt{BC^2-AB^2}= \sqrt{10^2-6^2}= 8$.$\because AD平分\angle CAB$,$\therefore \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{BD}$,$\therefore CD= BD$.在$Rt\triangle BDC$中,$BC= 10$,$CD^2+BD^2= BC^2$,$\therefore BD= CD= 5\sqrt{2}$.
(2)如图②,连接$OB,OD$.$\because AD平分\angle CAB$,且$\angle CAB= 60^{\circ}$,$\therefore \angle DAB= 30^{\circ}$,$\angle DOB= 60^{\circ}$.又$\because OB= OD$,$\therefore \triangle OBD$是等边三角形,$\therefore BD= OB= OD= 5$.

答案：
(1)解：
∵BC是直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°，
∵在Rt△CAB中，BC=10，AB=6，
∴AC=$\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
∵AD平分∠CAB，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴CD=BD，
在Rt△BDC中，BC=10，CD² + BD²=BC²，
∴BD=CD=$5\sqrt{2}$；
(2)解：连接OB，OD，
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=5。