《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1.如图,$AB切\odot O于点B$,$OA交\odot O于点C$,点$D在\odot O$上,$BD// OA$,连接$CD$,若$\angle CDB= 25°$,则$\angle A$的度数为(C).
A.$25^\circ$
B.$35^\circ$
C.$40^\circ$
D.$45^\circ$

答案： C

2.如图,$AB是\odot O$的直径,$CD是\odot O$的切线,切点为$D$.$CD与AB的延长线交于点C$,$\angle A= 30°$.有下列结论：①$AD= CD$；②$BD= BC$；③$AB= 2BC$.其中正确结论有①②③(填序号).[img]

答案： ①②③

3.如图,直线$a\perp b$,垂足为$H$,点$P在直线b$上,$PH= 4\,cm$,$O为直线b$上一动点,若以$1\,cm为半径的\odot O与直线a$相切,则$OP$的长为__________.[img]

3 cm 或 5 cm

答案： 3 cm 或 5 cm

4.如图,$C是\odot O直径AB$延长线上一点,过点$C作\odot O$的切线,切点为$D$,连接$BD$.
(1)求证：$\angle A= \angle BDC$.
(2)若$CM平分\angle ACD$,且分别交$AD,BD于点M,N$.当$DM= 1$时,求$MN$的长.

答案： 1. （1）证明：
连接$OD$。
因为$CD$是$\odot O$的切线，所以$OD\perp CD$，即$\angle ODC = 90^{\circ}$，则$\angle BDC+\angle ODB = 90^{\circ}$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，则$\angle A+\angle ABD = 90^{\circ}$。
又因为$OD = OB$，所以$\angle ODB=\angle ABD$。
根据等角的余角相等，可得$\angle A=\angle BDC$。
2. （2）
因为$CM$平分$\angle ACD$，所以$\angle DCM=\angle ACM$。
由（1）知$\angle A=\angle BDC$。
根据三角形外角性质，$\angle DMN=\angle A+\angle ACM$，$\angle DNM=\angle BDC+\angle DCM$。
所以$\angle DMN=\angle DNM$。
则$\triangle DMN$是等腰三角形，$DM = DN$。
已知$DM = 1$，在$\triangle DMN$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle DMN=\angle DNM$，$\angle MDN = 90^{\circ}$。
根据等腰直角三角形的性质，若等腰直角三角形的直角边为$a$（这里$a = DM=DN = 1$），斜边$MN=\sqrt{DM^{2}+DN^{2}}$（由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，在等腰直角三角形$a = b$，$c$为斜边）。
所以$MN=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
综上，（1）得证；（2）$MN$的长为$\sqrt{2}$。

5.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AB是\odot O$的直径,$BC交\odot O于点D$,$DE\perp AC$,垂足为$E$.求证：$DE是\odot O$的切线.[img]

答案： 证明:连接 OD,
∵AB=AC,OB=OD,
∴∠ACB=∠ABC=∠ODB,
∴OD//AC.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE 是⊙O的切线.