《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1. 抛物线$y= ax^{2}和抛物线y= a(x-h)^{2}$的形状______,开口方向______.

答案： 【解析】：
本题考查二次函数图像的性质，特别是抛物线$y = ax^2$和抛物线$y = a(x-h)^2$的形状和开口方向。
对于抛物线$y = ax^2$，其形状取决于系数a的值。当a为正时，抛物线开口向上；当a为负时，抛物线开口向下。但无论a的正负，抛物线的形状都是抛物线，不会因为a的值而改变。
对于抛物线$y = a(x-h)^2$，它是抛物线$y = ax^2$沿x轴平移h个单位后得到的。因此，它的形状同样取决于系数a的值，开口方向也由a的正负决定。
由于两个抛物线的形状和开口方向都仅由系数a决定，因此，无论h的值是多少，抛物线$y = ax^2$和抛物线$y = a(x-h)^2$的形状都是相同的，开口方向也是相同的。
【答案】：
形状相同；开口方向相同（或都由a的正负决定，当$a ＞ 0$时都开口向上，当$a ＜ 0$时都开口向下）。

2. 将抛物线$y= ax^{2}$向______平移______个单位长度,得到抛物线$y= a(x-h)^{2}$(其中$h＞0$)；将抛物线$y= a(x-h)^{2}$(其中$h＜0$)向______平移______个单位长度,得到抛物线$y= ax^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数图像的平移性质。
对于函数$y= ax^{2}$和$y= a(x-h)^{2}$，当$h＞0$时，后者是前者向右平移$|h|$个单位长度得到的；
同理，当抛物线$y= a(x-h)^{2}$中的$h＜0$时，要将其变为$y= ax^{2}$，需要进行与上一步相反的平移操作，即向左平移$|h|$个单位长度。
【答案】：
右；$h$；左；$|h|$

例 如图,抛物线$y= -(x-1)^{2}$的顶点为A,图象交y轴于点B,直线$x= a$分别交抛物线和线段AB于点M,N.当线段MN的长为$\frac{1}{4}$时,求a的值.
分析：直线$x= a$垂直于x轴,所以线段MN的长度是点M和点N的纵坐标的差.
解：$\because y= -(x-1)^{2}$,$\therefore$点A的坐标为$(1,0)$,点B的坐标为$(0,-1)$.设线段AB的解析式为$y= kx+b$,
$\therefore \begin{cases} b= -1, \\ k+b= 0. \end{cases} 解得\begin{cases} k= 1, \\ b= -1. \end{cases} $
$\therefore$线段AB的解析式为$y= x-1(0\leqslant x\leqslant 1)$.$\therefore$点M的坐标为$(a,-(a-1)^{2})$,点N的坐标为$(a,a-1)$.
$\therefore MN= -(a-1)^{2}-(a-1)= -a^{2}+a$,
当$-a^{2}+a= \frac{1}{4}$时,解得$a= \frac{1}{2}$.

答案： 解：$\because y=-(x-1)^2$，
$\therefore$ 顶点$A(1,0)$，令$x=0$，则$y=-1$，$\therefore B(0,-1)$。
设线段$AB$的解析式为$y=kx+b$，
将$A(1,0)$，$B(0,-1)$代入得：$\begin{cases}k+b=0\\b=-1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=1\\b=-1\end{cases}$，$\therefore$ 线段$AB$的解析式为$y=x-1(0\leqslant x\leqslant1)$。
$\because$ 直线$x=a$交抛物线于点$M$，交线段$AB$于点$N$，
$\therefore M(a,-(a-1)^2)$，$N(a,a-1)$。
$\because 0\leqslant a\leqslant1$，抛物线开口向下，点$M$在点$N$上方，
$\therefore MN=-(a-1)^2-(a-1)=-a^2+a$。
令$-a^2+a=\frac{1}{4}$，即$4a^2-4a+1=0$，
解得$a_1=a_2=\frac{1}{2}$。
$\therefore a$的值为$\frac{1}{2}$。

1. 如果将抛物线$y= x^{2}$向右平移1个单位长度,那么所得抛物线的解析式是( ).

A.$y= x^{2}-1$
B.$y= x^{2}+1$
C.$y= (x-1)^{2}$
D.$y= (x+1)^{2}$

答案： C