《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

5. 如图,在△ABC中,$AC= BC$,D是AB上一点,⊙O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作$DF//BC$,交⊙O于点F.求证：
(1)四边形DBCF是平行四边形.
(2)$AF= EF$.

答案： 证明:
(1)
∵AC=BC,
∴∠BAC=∠B.
∵DF//BC,
∴∠ADF=∠B.
∵∠BAC=∠CFD,
∴∠ADF=∠CFD,
∴BD//CF.
∵DF//BC,
∴四边形DBCF是平行四边形.
(2)连接AE.
∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,
∴∠AEF=∠B.
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形,
∴∠ECF+∠EAF=180°,又
∵∠ECF+∠B=180°,
∴∠EAF=∠B,
∴∠AEF=∠EAF,
∴AF=EF.

6. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,$AC⊥BD$,垂足为M,MN为△AMD的中线.
(1)求证：$MN⊥BC$.
(2)过点O作$OE⊥BC$,垂足为E,求证：$OE= MN$.

答案：
(1)提示:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得NA=NM=ND,再由等边对等角,直角三角形的两锐角互余,同弧上的圆周角相等及对顶角相等可得∠MBG+∠BMG=90°,所以MN⊥BC.
(2)连接ON,ME,因为OE⊥BC,MN⊥BC,所以OE//MN,由垂径定理可得E为Rt△BMC斜边的中点,通过$\overset{\frown}{AB}$对应圆周角相等,等边对等角和互余的角的数量关系可得∠GME=∠MNO,根据同位角相等,两直线平行可得ME//ON,得到四边形OEMN是平行四边形,所以OE=MN.

7. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是$\widehat{CD}$上一点,且$\widehat{DF}= \widehat{BC}$,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若$∠ABC= 105^\circ$,$∠BAC= 25^\circ$,则$∠E$的度数为( ).

A.$45^\circ$
B.$50^\circ$
C.$55^\circ$
D.$60^\circ$

答案： B

8. 如图,在由两个长方形组成的工件的平面图(单位：mm)中,直线l是它的对称轴.能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是______mm.

答案： 50

9. 如图,在△ABC中,$AB= AC= 10$,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点E.连接OD交BE于点M,且$MD= 2$,则BE的长为______.

答案： 8