《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

6.如图,已知直线$l与\odot O$相离,$OA\perp l$,垂足为$A$,交$\odot O于点P$.$B是\odot O$上的一点,连接$BP$并延长,交直线$l于点C$,使得$AB= AC$.
(1)求证：$AB是\odot O$的切线.
(2)若$PC= 2\sqrt{5}$,$OA= 5$,求$\odot O$的半径.

答案： 1. （1）证明：
连接$OB$。
因为$OB = OP$，所以$\angle OBP=\angle OPB$。
又因为$\angle OPB=\angle APC$（对顶角相等），所以$\angle OBP=\angle APC$。
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
因为$OA\perp l$，所以$\angle OAC = 90^{\circ}$，即$\angle ACB+\angle APC=90^{\circ}$。
那么$\angle OBP+\angle ABC = 90^{\circ}$，即$\angle OBA = 90^{\circ}$。
又因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$AB$是$\odot O$的切线。
2. （2）解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB = r$，$OA = 5$，所以$AP=5 - r$。
由（1）知$\angle OBA = 90^{\circ}$，$\angle OAC = 90^{\circ}$。
根据切割线定理$AB^{2}=BP· BC$。
又因为$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle OAC = 90^{\circ}$，$\angle OBP+\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle ACB+\angle APC = 90^{\circ}$，$\angle OBP=\angle OPB=\angle APC$，所以$\triangle OBC\sim\triangle APC$。
由勾股定理，在$Rt\triangle OAC$中，$AC^{2}=OC^{2}-OA^{2}=(r + PC)^{2}-25=(r + 2\sqrt{5})^{2}-25$。
又因为$AB = AC$，根据切割线定理$AB^{2}=BP· BC=(2r) · (2r + 2\sqrt{5})$（因为$BP = 2r$，$BC=BP + PC=2r+2\sqrt{5}$）。
同时$AC^{2}=(r + 2\sqrt{5})^{2}-25$，$AB^{2}=(r + 2\sqrt{5})^{2}-25$，$AB^{2}=2r(2r + 2\sqrt{5})$。
即$(r + 2\sqrt{5})^{2}-25=2r(2r + 2\sqrt{5})$。
展开得$r^{2}+4\sqrt{5}r + 20-25 = 4r^{2}+4\sqrt{5}r$。
移项得$4r^{2}+4\sqrt{5}r-(r^{2}+4\sqrt{5}r - 5)=0$，$3r^{2}=5$（错误，重新来）。
设$\odot O$半径为$r$，连接$OB$，$OB\perp AB$，$OA\perp AC$。
因为$\angle BOC=\angle AOP$，$\angle OBP=\angle APC$，所以$\triangle OBC\sim\triangle APC$。
则$\frac{OB}{AP}=\frac{BC}{PC}$。
设$OB = r$，则$AP = 5 - r$，$BC=BP + PC=2r+2\sqrt{5}$。
由勾股定理$AB^{2}=AC^{2}$，$AB^{2}=OA^{2}-OB^{2}=25 - r^{2}$，$AC^{2}=PC^{2}-AP^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-(5 - r)^{2}$。
所以$25 - r^{2}=20-(25 - 10r+r^{2})$。
展开$25 - r^{2}=20 - 25 + 10r - r^{2}$。
移项得$10r=30$，解得$r = 3$。
所以$\odot O$的半径为$3$。

7.如图,菱形$OABC的顶点A,B,C在\odot O$上,过点$B作\odot O的切线交OA的延长线于点D$.若$\odot O的半径为1$,则$BD$的长为(D).[img]

A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： D

8.如图,已知线段$OA交\odot O于点B$,且$OB= AB$,$P是\odot O$上的一个动点,那么$\angle OAP$的最大值是(A).[img]

A.$30^\circ$
B.$45^\circ$
C.$60^\circ$
D.$90^\circ$

答案： A

9.如图,$\triangle ABC$中,$AB= 10$,$AC= 8$,$BC= 6$,以$AB边中点O$为圆心,作半圆与$AC$相切.$P,Q分别是BC$边和半圆上的动点(包括端点),连接$PQ$,则$PQ$长的最大值与最小值的和是(C).[img]

A.$6$

B.$2\sqrt{13}+1$
C.$9$
D.$\frac{32}{2}$

答案： C