《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,内切圆$\odot O$与边 BC,AC,AB 分别切于点 D,E,F.
(1)求证：$BF= CE$.
(2)若$\angle C= 30^\circ$,$CE= 2\sqrt{3}$,求 AC 的长.

答案：
(1)证明:
∵AE,AF 是⊙O 的切线,
∴AE=AF.又
∵AC=AB,
∴AC-AE=AB-AF,
∴CE=BF,即 BF=CE.
(2)连接 AO,OD.可求证 A,O,D 三点共线,即 AD⊥BC,在 Rt△ACD 中,得 AC=4.

10. 已知,直线$l_1,l_2是\odot O$的切线,A,B 是切点且 AB 为$\odot O$的直径.
(1)如图①,判断$l_1,l_2$的位置关系,并说明理由.

(2)如图②,点 C,D 分别在$l_1,l_2$上,CD 与$\odot O$相切于点 E,OC 与 AE 交于点 M,OD 与 BE 交于点 N.若$AC= 1$,$BD= 4$,求 MN 的长.

答案：
(1)由已知得 OA⊥$l_{1}$,OB⊥$l_{2}$,又
∵A,O,B 共线,
∴$l_{1}// l_{2}$.
(2)作 CH⊥BD 交$l_{2}$于点 H,易证四边形 ABHC 为矩形.根据切线的性质定理,可得 MN 是△ABE 的中位线,即$MN=\frac{1}{2}AB$.
∵AC=1,BD=4,
∴CD=5,DH=3.
∴CH=4,即 AB=4.
∴MN=2.