《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1. 在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长$l= $______.

答案： 【解析】：
本题主要考察弧长公式的应用。在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l可以通过弧长公式计算得出。弧长公式为：$l = \frac{n\pi R}{180}$，其中n是圆心角的度数，R是圆的半径。
【答案】：
$l = \frac{n\pi R}{180}$

2. 在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为$S_{扇形}= $______；扇形面积还可以表示为$S_{扇形}= $______.

答案： 【解析】：
本题主要考察扇形面积的计算公式。
对于半径为$R$的圆，圆心角为$n^\circ$的扇形，其面积计算公式为：
$S_{扇形} = \frac{n\pi R^{2}}{360}$，
这是因为一个完整的圆的面积是$\pi R^{2}$，而圆心角为$n^\circ$的扇形占整个圆的比例是$\frac{n}{360}$。
另外，扇形面积还可以表示为：
$S_{扇形} = \frac{1}{2}lR$，
其中$l$是扇形的弧长。扇形的弧长与圆心角的关系是：
$l = \frac{n\pi R}{180}$，
将弧长的表达式代入扇形面积的公式，得到：
$S_{扇形} = \frac{1}{2} × \frac{n\pi R}{180} × R = \frac{n\pi R^{2}}{360}$，
这与之前的公式是一致的。但在实际应用中，如果知道扇形的弧长，可以直接使用$S_{扇形} = \frac{1}{2}lR$来计算扇形面积。
【答案】：
$S_{扇形} = \frac{n\pi R^{2}}{360}$；$S_{扇形} = \frac{1}{2}lR$。

例1 如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF是一条近似的“渐开线”,其中$\widehat{CD},\widehat{DE},\widehat{EF}$的圆心依次是A,B,C.如果AB= 1,那么曲线CDEF的长是______.
分析：利用弧长公式,分$\widehat{CD},\widehat{DE},\widehat{EF}$三段计算,求和.
解：∵∠CAD,∠DBE,∠ECF是等边三角形的外角,∴∠CAD= ∠DBE= ∠ECF= 120°,∵AC= 1,∴BD= 2,CE= 3,∴曲线CDEF的长$l= \frac{1}{3}× 2\pi × 1+\frac{1}{3}× 2\pi × 2+\frac{1}{3}× 2\pi × 3= 4\pi$.

答案： 解：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAD，∠DBE，∠ECF是等边三角形的外角，
∴∠CAD=∠DBE=∠ECF=120°，
∵AB=1，
∴AC=1，BD=AB+AD=AB+AC=2，CE=BC+BD=BC+AB+AC=3，
由弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
可得$\widehat{CD}$的长为$\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}$，
$\widehat{DE}$的长为$\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$，
$\widehat{EF}$的长为$\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$，
∴曲线CDEF的长为$\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+2\pi = 4\pi$。
$4\pi$

例2 如图,⊙O的半径OC为6,D为OC的中点,过点D作弦AB⊥OC,交⊙O于点A,B.
(1)求图①中弓形ACB(阴影部分)的面积.
(2)延长BO交⊙O于点E,如图②,求图中阴影部分的面积.
分析：(1)用割补法求面积.(2)分割后利用三角形全等从而转化成扇形求面积.
解：(1)连接OA,OB,OD⊥AB,OD= $\frac{1}{2}OB$,∴∠OBD= 30°,AD= DB= 3$\sqrt{3}$.∵OB= OA,∴∠OBD= ∠OAB= 30°,∴∠AOB= 120°,∴$S_{阴影}= S_{扇形AOB}-S_{\triangle AOB}= \frac{120}{360}\pi × 6^2-\frac{1}{2}× 6\sqrt{3}× 3= 12\pi -9\sqrt{3}$.
(2)连接OA,BC,OC⊥AB,OA= OC,∴∠AOC= ∠BOC= 60°.∵OA= OC,∴△OAC为等边三角形,四边形ACOE、四边形ACBO为菱形且全等,∴$S_{\triangle AEC}= S_{\triangle OAC}$,∴$S_{阴影}= S_{扇形AOC}= \frac{60}{360}\pi × 6^2= 6\pi$.

答案：
(1)连接OA,OB。
∵D为OC中点，OC=6，
∴OD=3。
∵AB⊥OC，
∴∠ODB=90°。
在Rt△ODB中，cos∠BOD=OD/OB=3/6=1/2，
∴∠BOD=60°。
同理∠AOD=60°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=120°。
∵AB⊥OC，
∴AD=DB。
在Rt△ODB中，DB=√(OB²-OD²)=√(6²-3²)=3√3，
∴AB=2DB=6√3。
S扇形AOB=120°/360°×π×6²=12π，
S△AOB=1/2×AB×OD=1/2×6√3×3=9√3，
∴S阴影=S扇形AOB - S△AOB=12π - 9√3。
(2)连接OA,AC。
由
(1)知∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠AOC=∠BOC=60°。
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，∠OAC=60°。
∵OE=OB=6，
∴BE=12。
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=30°。
∵∠EBA=∠OBA=30°，∠OAC=60°，
∴∠EBA=∠CAO，
∴AC//BE，
∴S△ACE=S△ACO（同底等高）。
S阴影=S△ACE + S扇形AOC - S△ACO=S扇形AOC，
S扇形AOC=60°/360°×π×6²=6π，
∴S阴影=6π。