《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

3.小聪为校运动会设计奖杯,从抛物线形状上获得灵感,在平面直角坐标系中画出截面示意图,如图①:杯体ACB是抛物线的一部分,抛物线的顶点C在y轴上,杯口直径AB= 4,且点A,B关于y轴对称,杯脚高CO= 4,杯高DO= 8,杯底MN在x轴上.
(1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式(不必写出x的取值范围).
(2)为使奖杯更加美观,小敏提出了改进方案,如图②:杯体A'CB'所在抛物线形状不变,杯口直径A'B'//AB,杯脚高CO不变,杯深CD'与杯高OD'之比为0.6,求A'B'的长.

答案：
(1)设$y=ax^{2}+4,$
∵杯口直径$AB=4$,杯高$DO=8,$
$\therefore B(2,8),$
将$x=2,y=8$代入,得$a=1,$
$\therefore y=x^{2}+4.$
(2)$\because \frac {CD'}{OD'}=0.6,$
$\therefore \frac {CD'}{4+CD'}=0.6,$
$\therefore CD'=6,OD'=10,$
当$y=10$时,$10=x^{2}+4$,解得$x_{1}=\sqrt {6},x_{2}=-\sqrt {6},$
$\therefore A'B'=2\sqrt {6}$,即杯口直径$A'B'$的长为$2\sqrt {6}.$

4. 16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的雏形.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离后,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟该火箭的运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y= ax^2+x和直线$y= -\frac{1}{2}x+b,$当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km.
①写出a,b的值.
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)当a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km?

答案：
(1)①
∵火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,运行的水平距离为9 km,
∴抛物线$y=ax^{2}+x$和直线$y=-\frac {1}{2}x+b$均经过点$(9,3.6),$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} 3.6=81a+9,\\ 3.6=-\frac {1}{2}×9+b,\end{array}\right. $
解得$a=-\frac {1}{15},b=8.1.$
②由①,得抛物线$y=-\frac {1}{15}x^{2}+x$和直线$y=-\frac {1}{2}x+8.1,$
配方,抛物线化为$y=-\frac {1}{15}(x-\frac {15}{2})^{2}+\frac {15}{4},$
∴y最大值为$\frac {15}{4}.$
当火箭第一级运行路径高度为$\frac {15}{4}-1.35=2.4(km)$时,
有$-\frac {1}{15}x^{2}+x=2.4,$
解得$x_{1}=12,x_{2}=3,$
$12＞9$,舍去;
当火箭第二级运行路径高度为2.4 km时,
有$-\frac {1}{2}x+8.1=2.4,$
解得$x=11.4.$
$11.4-3=8.4(km),$
∴这两个位置之间的距离为8.4 km.
(2)设火箭落地点与发射点的水平距离为d km,
火箭第二级的引发点为$(9,81a+9)$,落地点为$(d,0),$
将$(9,81a+9),(d,0)$代入$y=-\frac {1}{2}x+b,$
得$81a+9=-\frac {1}{2}×9+b$①,$0=-\frac {1}{2}d+b$②,
联立①②,得$d=162a+27.$
$\because d＞15$,抛物线开口向下,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} 162a+27＞15,\\ a＜0,\end{array}\right. $
解得$-\frac {2}{27}＜a＜0.$