《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1. 若抛物线的解析式为$y= a(x-h)^2+k$,则抛物线的顶点坐标为______.

答案： 【解析】：
这是一个基础的抛物线顶点坐标的题目。对于一般形式的抛物线$y= a(x-h)^2+k$，其顶点坐标可以直接从公式中读出，即顶点为$(h, k)$。
【答案】：
$(h,k)$

2. 根据已知条件选设函数解析式：
(1) 当已知条件包含抛物线上三个点的坐标时,可以将函数解析式设为一般式：______.
(2) 当已知条件包含抛物线的顶点的坐标时,可以将函数解析式设为顶点式：______.
(3) 当已知条件包含抛物线与$x$轴的两个交点的坐标时,可以将函数解析式设为两根式：______.

答案： 【解析】：
本题考查二次函数的几种形式，包括一般式、顶点式和两根式。根据题目给出的不同条件，我们需要选择最合适的函数解析式形式。
(1) 当已知抛物线上的三个点的坐标时，最通用的形式是一般式$y=ax^2+bx+c$，其中a、b、c是待求的系数。
(2) 当已知抛物线的顶点坐标时，利用顶点式$y=a(x-h)^2+k$可以更方便地求解，其中(h,k)是顶点的坐标，a是待求的系数。
(3) 当已知抛物线与x轴的两个交点的坐标时，使用两根式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$最为方便，其中$x_1$和$x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标，a是待求的系数。
【答案】：
(1) $y=ax^2+bx+c$
(2) $y=a(x-h)^2+k$
(3) $y=a(x-x_1)(x-x_2)$

例1 已知二次函数的图象经过点$(2,3)$,顶点为$(1,5)$,求这个二次函数的解析式.
分析：因为已知抛物线顶点的坐标,所以设二次函数的解析式为$y= a(x-h)^2+k$的形式解题较为方便.
解：设二次函数的解析式为$y= a(x-1)^2+5$,将$(2,3)$代入,得$a(2-1)^2+5= 3$,解得$a= -2$,$\therefore y= -2(x-1)^2+5= -2x^2+4x+3$.

答案： 【解析】：
本题考查了二次函数的解析式求解。
由于已知抛物线的顶点坐标，我们可以设二次函数的解析式为顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，其中$(h, k)$为抛物线的顶点坐标。
根据题目给出的顶点坐标$(1, 5)$，我们可以设二次函数的解析式为$y = a(x - 1)^2 + 5$。
接下来，我们需要利用已知的点$(2, 3)$来求解系数$a$。
将点$(2, 3)$代入解析式，得到方程：
$a(2 - 1)^2 + 5 = 3$，
解这个方程，我们可以得到$a = -2$。
因此，这个二次函数的解析式为$y = -2(x - 1)^2 + 5$，进一步展开得到$y = -2x^2 + 4x + 3$。
【答案】：
$y = -2x^2 + 4x + 3$。

例2 已知二次函数的图象如图所示,求此抛物线的解析式.
分析：先利用抛物线的对称性确定抛物线与$x轴的另一个交点坐标为(-3,0)$.当已知抛物线与$x$轴的两个交点的坐标时,可以将抛物线的解析式设为两根式$y= a(x-x_1)(x-x_2)$.

解：$\because抛物线的对称轴为直线x= 1$,抛物线与$x轴的一个交点坐标为(5,0)$,
$\therefore抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,0)$.
设抛物线的解析式为$y= a(x+3)(x-5)$,把$(0,3)$代入,得$a×3×(-5)= 3$,解得$a= -\frac{1}{5}$,
$\therefore抛物线的解析式为y= -\frac{1}{5}(x+3)(x-5)= -\frac{1}{5}x^2+\frac{2}{5}x+3$.

答案： 【解析】：
本题考查了利用交点式求二次函数的解析式，先利用抛物线的对称性确定抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$，再设抛物线的交点式$y=a(x - x_1)(x - x_2)$（其中$x_1$，$x_2$为抛物线与$x$轴交点的横坐标），最后将已知点代入求出$a$的值，进而得到抛物线的解析式。
已知抛物线对称轴为直线$x = 1$，且与$x$轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
根据抛物线的对称性，对称轴是抛物线与$x$轴两交点横坐标和的一半，设另一个交点坐标为$(x_0,0)$，则$\frac{x_0 + 5}{2}=1$，解得$x_0=-3$，所以抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。
设抛物线的解析式为两根式$y = a(x + 3)(x - 5)$（因为抛物线与$x$轴交点坐标为$(-3,0)$和$(5,0)$，所以可设此形式）。
已知抛物线过点$(0,3)$，将$(0,3)$代入$y = a(x + 3)(x - 5)$中，得到$a×(0 + 3)×(0 - 5)=3$，即$-15a = 3$，解得$a=-\frac{1}{5}$。
将$a=-\frac{1}{5}$代入$y = a(x + 3)(x - 5)$，展开可得：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{5}(x + 3)(x - 5)\\&=-\frac{1}{5}(x^2-5x + 3x-15)\\&=-\frac{1}{5}(x^2-2x - 15)\\&=-\frac{1}{5}x^2+\frac{2}{5}x + 3\end{aligned}$
【答案】：
解：$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(5,0)$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。
设抛物线的解析式为$y = a(x + 3)(x - 5)$，把$(0,3)$代入，得$a×3×(-5)= 3$，解得$a = -\frac{1}{5}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{5}(x + 3)(x - 5)= -\frac{1}{5}x^2+\frac{2}{5}x + 3$。