《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

5.已知关于x的二次函数$y= mx^2-(2m+n)x+m+n(n≠0).$求证:
(1)此二次函数的图象与x轴必有两个交点.
(2)此二次函数的图象与x轴的交点中,有一个交点的横坐标为1.

答案：
(1)n≠0,Δ=n²＞0,故二次函数的图象与x轴有两个交点.
(2)mx²-(2m+n)x+m+n=(x-1)(mx-m-n)=0,故x=1为方程的一个根.

6.抛物线$y= ax^2+bx+c(a,b,c$是常数,c＜0)经过(1,1),(m,0),(n,0)三点,且n≥3.下列四个结论$:①b＜0;②4ac - b^2＜4a;③$当n= 3时,若点(2,t)在该抛物线上,则t＞1;④若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c= x$有两个相等的实数根,则$0＜m≤\frac{1}{3}.$
其中正确的是______(填写序号).

答案： ②③④

7.在直角坐标系xOy中,抛物线$y= x^2-2x-3$交x轴于A,B两点(A在B的左边),C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)若当OP= OA时,在抛物线上存在点D(异于点B),使B,D两点到AC的距离相等,求出所有满足条件的点D的横坐标.

答案：
(1)A(-1,0),B(3,0).
(2)
∵OP=OA=1,
∴P(0,1),
∴直线AC的解析式为y=x+1.①若点D在AC的下方,过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D₁,
∵B(3,0),BD₁//AC,
∴直线BD₁的解析式为y=x-3,由{y=x-3,y=x²-2x-3,}解得{x=3,y=0,}或{x=0,y=-3.}
∴D₁(0,-3),
∴D₁的横坐标为0.②若点D在AC的上方,点D₁关于点P的对称点G(0,5),过点G作AC的平行线l交抛物线于点D₂,D₃,直线l的解析式为y=x+5,由{y=x+5,y=x²-2x-3,}可得x²-3x-8=0,解得x=(3-√41)/2或(3+√41)/2,
∴D₂,D₃的横坐标为(3-√41)/2,(3+√41)/2.综上所述,满足条件的点D的横坐标为0,(3-√41)/2,(3+√41)/2.