《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

两个点关于原点对称时,它们的坐标符号______,即点$ P(x,y) 关于原点的对称点为 P' $______.

答案： 【解析】：
题目考查了关于原点对称的点的坐标性质。当两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都会变为相反数。即如果点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'$，那么$P'$的坐标应为$(-x,-y)$。
【答案】：
相反；$(-x, -y)$。

例1 如图,在平面直角坐标系中,将$ \triangle DEF $先向上平移2个单位长度,再向右平移2个单位长度得$ \triangle D'E'F' $,则$ \triangle D'E'F' 和 \triangle ABC $关于原点对称吗？
分析：若两个点的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数,则它们关于原点对称.
解：如图,点$ D,E,F 的坐标分别为 (-2,-3),(-6,-4),(-4,-2) $,平移后,点$ D',E',F' 的坐标分别为 (0,-1),(-4,-2),(-2,0) $.点$ A,B,C 的坐标分别为 (0,1),(4,2),(2,0) $.所以$ \triangle D'E'F' 和 \triangle ABC $关于原点对称.

答案： 解：点D，E，F的坐标分别为(-2,-3)，(-6,-4)，(-4,-2)。
向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后，点D'，E'，F'的坐标分别为(0,-1)，(-4,-2)，(-2,0)。
点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(4,2)，(2,0)。
∵点D'与点A的横、纵坐标互为相反数，点E'与点B的横、纵坐标互为相反数，点F'与点C的横、纵坐标互为相反数，
∴△D'E'F'和△ABC关于原点对称。

例2 如图①,在平面直角坐标系中,$ Rt\triangle ABC 的三个顶点分别是 A(-3,2),B(0,4),C(0,2) $.
(1)将$ \triangle ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180^\circ $,画出旋转后对应的$ \triangle A_1B_1C $；平移$ \triangle ABC 得到 \triangle A_2B_2C_2 $,若点$ A 的对应点 A_2 的坐标为 (0,-4) $,画出平移后对应的$ \triangle A_2B_2C_2 $.
(2)若将$ \triangle A_1B_1C 绕某一点旋转可以得到 \triangle A_2B_2C_2 $,请直接写出旋转中心的坐标.
(3)在$ x 轴上有一点 P $,使得$ PA+PB $的值最小,请直接写出点$ P $的坐标.
分析：(1)找到点$ A,B 关于点 C 的对称点 A_1,B_1 $,连接$ A_1,B_1,C 三点即可得到 \triangle A_1B_1C $；先找出点$ A_2 $的位置,根据三角形各顶点的位置关系找到对应的$ B_2,C_2 $,连接三点即可.
(2)连接$ A_1A_2,B_1B_2,CC_2 $,交于点$ E $,因为点$ A_1,A_2 的坐标分别为 (3,2),(0,-4) $,根据中点坐标公式可知点$ E 的坐标 \left( \frac{3}{2},-1 \right) $即为旋转中心的坐标.
(3)由图②可知点$ B 关于 x 轴对称的点是 A_2 $,连接$ AA_2 $,交$ x 轴于点 P $,因为$ PB= PA_2 $,根据两点之间线段最短,所以可知此时$ PA+PB $的值最小,进而得到点$ P $的坐标.
解：(1)如图②所示.(2)如图②,旋转中心的坐标是$ \left( \frac{3}{2},-1 \right) $.(3)如图②,点$ P 的坐标是 (-2,0) $.

答案： 【解析】：
(1) 这一小题主要考查了图形的旋转和平移。
首先，我们需要找到点$A, B$关于点$C$的对称点$A_1, B_1$，然后连接$A_1, B_1, C$三点，即可得到旋转后的$\triangle A_1B_1C$。
接着，根据点$A$的对应点$A_2$的坐标，我们可以确定平移的方向和距离，然后找到点$B, C$平移后的对应点$B_2, C_2$，连接三点即可得到平移后的$\triangle A_2B_2C_2$。
(2) 这一小题主要考查了图形的旋转。
连接$A_1A_2, B_1B_2, CC_2$，它们的交点即为旋转中心。
根据中点坐标公式，我们可以计算出旋转中心的坐标。
(3) 这一小题主要考查了对称性质以及线段最短的知识。
首先，我们找到点$B$关于$x$轴的对称点$A_2$，然后连接$AA_2$，交$x$轴于点$P$。
由于$PB = PA_2$，根据两点之间线段最短，我们可以知道此时$PA + PB$的值最小。
然后，我们可以通过计算得到点$P$的坐标。
【答案】：
(1) 图略；
(2) 旋转中心的坐标是$\left( \frac{3}{2}, -1 \right)$；
(3) 点$P$的坐标是$(-2, 0)$。