《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

10. 如图,抛物线$ y_1 与 x 轴交于 A,B $两点,与$ y 轴交于点 C $,且$ OC= OA $,$ AB= 4 $,对称轴为直线$ l_1:x= -1 $.将抛物线$ y_1 绕点 O 旋转 180^\circ 后得到新抛物线 y_2 $,抛物线$ y_2 与 y 轴交于点 D $,顶点为$ E $,对称轴为直线$ l_2 $.

(1)求抛物线$ y_1 和 y_2 $的表达式.
(2)如图,点$ F 的坐标为 (-6,0) $,动点$ M 在直线 l_1 $上,过点$ M 作 x $轴的平行线,与直线$ l_2 交于点 N $,连接$ FM,DN $,求$ FM+MN+DN $的最小值.

答案：
(1)设点A,B的坐标分别为(t,0),(t+4,0)，
∵y₁对称轴为直线l₁:x=-1，
∴-1=1/2(t+t+4)，
解得t=-3，
即点A,B的坐标分别为(-3,0),(1,0).
∵OC=OA，
∴点C的坐标为(0,3)，
则抛物线y₁的表达式为
y₁=a(x+3)(x-1)=a(x²+2x-3)，
由点C坐标得-3a=3，
得a=-1，
則y₁=-x²-2x+3，
根据图形的对称性,得y₂=x²-2x-3.
(2)作点D关于直线l₂的对称点D'(2,-3)，将点F向右平移2个单位(MN=2)，连接D'F'交直线l₂于点N，过点N作NM⊥l₁，垂足为点M，连接FM，
∵F'F//MN，FF'=MN，
∴四边形FF'NM为平行四边形，
∴FM=F'N，
則FM+MN+DN=F'N+ND'+MN=F'D'+2=√[(2+4)²+3²]+2=3√5+2.
FM+MN+DN的最小值为3√5+2.