《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1. 如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做______,这个圆叫做这个四边形的______.

答案： 【解析】：本题考查的是圆内接四边形的定义及其相关概念。根据定义，如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形就被称为圆内接四边形，同时，这个圆被称为这个四边形的外接圆。
【答案】：圆内接四边形；外接圆。

2. 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角______.

答案： 【解析】：
本题考查圆内接四边形的性质。根据圆内接四边形的性质，我们知道其对角是互补的，即两个对角的角度和为$180^\circ$。
【答案】：
互补。

例1 如图,▱ABCD为⊙O的内接四边形.
(1)求证：四边形ABCD为矩形.
(2)E为BC延长线上一点,ED的延长线交⊙O于点H,交BA的延长线于点F,若$BE= 2BF= 4\sqrt{5}$,$DE= HD$,求AC的长.
分析：由圆内接四边形对角互补来证明；$AC= BD= \sqrt{BH^2+HD^2}$.
解：(1)∵▱ABCD为⊙O的内接四边形,
∴$∠ABC+∠ADC= 180^\circ$,$∠ABC= ∠ADC$,
∴$∠ABC= ∠ADC= 90^\circ$,∴▱ABCD为矩形.
(2)连接BD,BH.
∵在矩形ABCD中,
$∠BCD= 90^\circ$,$AC= BD$,
∴BD为⊙O的直径,∴$∠BHE= 90^\circ$,$EF= \sqrt{BE^2+BF^2}= 10$.
又∵$BH·EF= BE·BF$,得$BH= 4$,$FH= \sqrt{BF^2-BH^2}= 2$,$HE= 10-2= 8$.
∵$DE= HD$,∴$DE= HD= 4$,∴$AC= BD= \sqrt{BH^2+HD^2}= 4\sqrt{2}$.

答案：
(1)证明：
∵▱ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴▱ABCD为矩形．
(2)解：连接BD，BH．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，AC=BD，
∴BD为⊙O的直径，
∴∠BHE=90°，
∵BE=2BF=4√5，
∴BF=2√5，BE=4√5，
在Rt△BEF中，EF=√(BF²+BE²)=√[(2√5)²+(4√5)²]=10，
∵S△BEF=1/2·BE·BF=1/2·EF·BH，
∴BH=(BE·BF)/EF=(4√5×2√5)/10=4，
在Rt△BFH中，FH=√(BF²-BH²)=√[(2√5)²-4²]=2，
∴HE=EF-FH=10-2=8，
∵DE=HD，设DE=HD=x，则HE=HD+DE=2x=8，
∴x=4，即HD=4，
在Rt△BHD中，BD=√(BH²+HD²)=√(4²+4²)=4√2，
∴AC=BD=4√2．

例2 如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,点E在BA的延长线上,AD平分$∠EAC$.
(1)写出图中所有与$∠DBC$相等的角.
(2)若$AD= 10\sqrt{5}$,$BD= 40$,$\widehat{AB}= \widehat{AD}$,求⊙O的半径,直接写出BC的长.
分析：由AD平分$∠EAC$,同弧所对的圆周角相等,圆内接四边形对角互补等条件和性质,可推导出与$∠DBC$相等的角.
解：(1)$∠DBC= ∠DAC= ∠EAD= ∠DCB$.
(2)令OA交BD于点H,连接OB,OD并延长DO交BC于点F.∵$\widehat{AB}= \widehat{AD}$,∴$∠BOA= ∠AOD$.
∵$OB= OD$,∴$OA⊥BD$,$BH= DH= 20$,∴$AH= \sqrt{AD^2-HD^2}= 10$.
设⊙O的半径为R,∵$OD^2= OH^2+HD^2$,∴$R^2= (R-10)^2+20^2$,解方程得$R= 25$.
用面积法可得$BF·OD= BD·OH$,$BF= 24$,∴$BC= 48$.

答案：
(1)解：
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC。
∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠EAD=∠DCB。
∵∠DAC与∠DBC都是$\widehat{DC}$所对的圆周角，
∴∠DAC=∠DBC。
∴与∠DBC相等的角为∠DAC，∠EAD，∠DCB。
(2)解：连接OA，OB，OD，OA交BD于点H，延长DO交BC于点F。
∵$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，
∴OA⊥BD，BH=DH=$\frac{1}{2}$BD=20。
在Rt△AHD中，AH=$\sqrt{AD^2-DH^2}=\sqrt{(10\sqrt{5})^2-20^2}=10$。
设⊙O半径为R，则OH=R-10。
在Rt△OHD中，OD²=OH²+DH²，即$R^2=(R-10)^2+20^2$，解得R=25。
∵OD=25，OH=15，S△OBD=$\frac{1}{2}$BD·OH=$\frac{1}{2}$OD·BF，
∴BF=$\frac{BD·OH}{OD}=\frac{40×15}{25}=24$。
∵DF⊥BC，
∴BC=2BF=48。
⊙O半径为25，BC=48。