《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

17.下图为某个二次函数的图象,求这个二次函数的解析式.\

答案： y=(x−1)²−4

18.容器内有水$200\ L$,现在开始向这个容器内注水,并同时排水.设$t\ min注入的水是2t^{2}\ L$,排出的水是$28t\ L$.
(1)几分钟后容器内的水最少?
(2)10$min$后容器内的水量是逐步增加还是逐步减少?

答案： $(1)$求几分钟后容器内的水最少
设$t$分钟后容器内的水量为$y$升。
根据已知条件，可得到$y$与$t$的关系式：
$y = 200 + 2t^{2}-28t$。
这是一个二次函数，对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$t=-\frac{b}{2a}$，在$y = 2t^{2}-28t + 200$中，$a = 2$，$b=-28$。
将$a = 2$，$b=-28$代入对称轴公式$t =-\frac{b}{2a}$可得：
$t=-\frac{-28}{2×2}=\frac{28}{4} = 7$。
因为$a = 2＞0$，二次函数图象开口向上，所以当$t = 7$时，$y$有最小值。
$(2)$判断$10$分钟后容器内的水量是逐步增加还是逐步减少
对$y = 2t^{2}-28t + 200$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，可得：
$y^\prime=(2t^{2}-28t + 200)^\prime=(2t^{2})^\prime-(28t)^\prime+(200)^\prime$
$y^\prime = 4t-28$。
当$t = 10$时，代入$y^\prime$得：
$y^\prime|_{t = 10}=4×10-28=40 - 28=12＞0$。
根据导数的性质，当$y^\prime＞0$时，函数$y$单调递增。
综上，答案为：$(1)$$\boldsymbol{7}$分钟后容器内的水最少；$(2)$$10$分钟后容器内的水量是逐步增加。

19.某工厂生产一种矩形材料板,其长、宽之比为$3:2$.每张材料板的成本$m$(单位:元)与它的面积(单位:$cm^{2}$)成正比例,每张材料板的销售价格$y$(单位:元)与其宽$x$(单位:$cm$)之间满足我们学习过的一次函数和二次函数关系中的一种.下表记录了该工厂生产、销售该材料板的一些数据.
|材料板的宽$x/cm$|24|30|42|54|
|成本$m/元$|96|150|294|486|
|销售价格$y/元$|780|900|1140|1380|

(1)写出$y关于x$的函数解析式,不要求写出自变量的取值范围.
(2)若一张材料板的利润$w为销售价格y与成本m$的差.
①请直接写出$w关于x$的函数解析式,不要求写出自变量的取值范围.
②当材料板的宽为多少时,一张材料板的利润最大?最大利润是多少?

答案：
(1)可设函数解析式为y=ax²+bx+c,则24²a+24b+c=780,30²a+30b+c=900,42²a+42b+c=1140,解得a=0,b=20,c=300.
∴该函数关系是一次函数关系，其解析式为y=20x+300.
(2)①w=−$\frac{1}{6}$x²+20x+300;②
∵w=−$\frac{1}{6}$(x−60)²+900.
∴当材料板的宽为60cm时，一张材料板的利润最大，最大利润为900元.