《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

把一个图形绕着某一点旋转 ______°,如果它能够与另一个图形 ______,那么就说这两个图形关于这个点 ______ 或 ______,这个点叫做 ______.这两个图形在旋转后能重合的 ______ 点叫做关于对称中心的 ______ 点.

答案： 180；重合；中心对称；成中心对称；对称中心；对应；对称

例 如图①,在矩形 $ABCD$ 中,$O$ 为 $AC$ 的中点,点 $E$,$F$ 分别在 $AD$,$CD$ 上,$AE= AO$,$CF= CO$.
(1)求$\angle EOF$的度数.
(2)画$\triangle COG$,使$\triangle COG与\triangle AOE关于点O$成中心对称.
(3)若$OE= 4\sqrt{2}$,$OF= 6$,求$AC$的长.

分析：(1)先求$\angle AOE与\angle FOC$的和即可；(2)延长$EO交BC于点G$；(3)连接$FG$,作$FM \perp OE于点M$,在$Rt\triangle FMG$中用勾股定理计算即可.
解：(1)$\angle EOF= 45^{\circ}$.
(2)延长$EO交BC于点G$,如图②,$\triangle COG$即为所求.

(3)连接$FG$,作$FM \perp OE$,垂足为$M$,$\because \angle EOF= 45^{\circ}$,$\therefore \triangle OFM$为等腰直角三角形,$\therefore FM= OM= \frac{\sqrt{2}}{2}OF= 3\sqrt{2}$.
$\because \triangle COG与\triangle AOE关于点O$成中心对称,$\therefore GO= EO= 4\sqrt{2}$,$CG= AE$,$\therefore GM= GO+OM= 7\sqrt{2}$.$\therefore在Rt\triangle GFM$中,$GF= \sqrt{GM^{2}+FM^{2}}= 2\sqrt{29}$.
$\because GC= OC= FC= AO= \frac{1}{2}AC$.$\therefore \triangle CFG$为等腰直角三角形,$\therefore CG= \frac{\sqrt{2}}{2}GF= \sqrt{58}$,$\therefore AC= 2AO= 2\sqrt{58}$.

答案：
(1)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，∠DAC=∠DCA=45°（矩形对角线相等且互相平分，且∠ADC=90°，故△ADC是等腰直角三角形）。
设∠AOE=α，∠COF=β，
∵AE=AO，
∴∠AEO=∠AOE=α，
在△AOE中，∠OAE=45°，
∴∠OAE+∠AOE+∠AEO=180°，
即45°+α+α=180°，
解得α=67.5°，
同理，CF=CO，∠OCF=45°，
∠CFO=∠COF=β，
∠OCF+∠COF+∠CFO=180°，
45°+β+β=180°，
解得β=67.5°，
∵∠AOC=180°（平角），
∴∠EOF=∠AOC - ∠AOE - ∠COF=180° - 67.5° - 67.5°=45°。
(2)解：延长EO交BC于点G，△COG即为所求。
(3)解：连接FG，作FM⊥OE于点M，
∵∠EOF=45°，FM⊥OE，
∴△OFM是等腰直角三角形，
∴FM=OM=OF·sin45°=6×=3，
∵△COG与△AOE关于点O成中心对称，
∴GO=EO=4，CG=AE，
∵AE=AO，CF=CO，O为AC中点，
∴AO=CO=AC，
∴CG=AO=CO=CF，
∴△CFG是等腰直角三角形，
GM=GO+OM=4+3=7，
在Rt△FMG中，FG===2，
∵△CFG是等腰直角三角形，
∴CG=FG·sin45°=2×=，
∴AC=2CG=2。