《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

用二次函数解决实际问题中的抛物线图形问题的一般步骤：
(1)建立平面直角坐标系.
(2)根据题意构建______.
(3)问题求解.
(4)找出实际问题的答案.

答案：
(2)二次函数解析式

例 连接汉口集家嘴与汉阳南岸嘴的江汉三桥(晴川桥),是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江,是江城武汉的一道亮丽景观,如图①.桥的拱肋 ACB 可视为抛物线的一部分,桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接,相邻系杆之间的间距均为5 m(不考虑系杆的粗细),拱肋的跨度 AB 为280 m,距离拱肋的右端70 m处的系杆 EF 的长度为42 m.以 AB 所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立如图②所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式.
(2)是否存在一根系杆,其长度恰好是 OC 长度的一半？请说明理由.
分析:本题考查了二次函数的应用,即如何将实际问题转化为数学模型.建立数学模型的过程中既要考虑如何合理地建立平面直角坐标系,也要注意自变量的取值范围.如本题中,自变量的取值范围不是全体实数,而是5的整数倍.
解:(1)∵AB= 280,OF= 70,EF= 42,∴点A,B,E的坐标分别为(-140,0),(140,0),(70,42).
设与该抛物线对应的函数解析式为:y= a(x+140)(x-140),
将(70,42)代入,则$a= -\frac{1}{350},$∴$y= -\frac{1}{350}x^2+56.(2)$将x= 0代入$y= -\frac{1}{350}x^2+56,$得y= 56,即OC= 56.
设存在一根系杆,其长度恰好是 OC 长度的一半,即为28 m,
则$28= -\frac{1}{350}x^2+56,解得x= ±70\sqrt{2}.$∵相邻系杆之间的间距均为5 m,
∴每根系杆上点的横坐标均为整数$,x= ±70\sqrt{2}$不合题意.
∴不存在一根系杆,其长度恰好是 OC 长度的一半.

答案：
(1)解：由题意得，A(-140,0)，B(140,0)，E(70,42)。
设抛物线解析式为$y=a(x+140)(x-140)$，
将(70,42)代入，得$42=a(70+140)(70-140)$，
即$42=a×210×(-70)$，解得$a=-\frac{1}{350}$，
所以抛物线解析式为$y=-\frac{1}{350}x^2 + 56$。
(2)解：当$x=0$时，$y=56$，即$OC=56$，$OC$的一半为28。
令$28=-\frac{1}{350}x^2 + 56$，
$\frac{1}{350}x^2=28$，$x^2=9800$，$x=±70\sqrt{2}$。
因为相邻系杆间距为5m，系杆横坐标为5的整数倍，而$±70\sqrt{2}$不是整数，
所以不存在这样的系杆。