《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

20.如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y= -x^{2}+4x-k的图象与x轴交于点A,B$,与$y轴交于点C$,其顶点为点$D$,且$k＞0$.若$\triangle ABC与\triangle ABD的面积比为1:4$,则$k$值是多少?\

答案：
∵y=−(x−2)²+4−k,
∴点D的坐标为(2,4−k)，点C的坐标为(0,−k).
∵k＞0,
∴OC=k.
∵由图象知点D在第一象限，
∴4−k＞0.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·OC=$\frac{1}{2}$AB·k,S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·(4−k),S△ABC:S△ABD=1:4,
∴k=$\frac{1}{4}$(4−k),即k=$\frac{4}{5}$.

21.下图是抛物线形拱桥示意图,当水位在$AB$位置时,拱桥顶离水面$2\ m$,水面宽$4\ m$,水面下降$1\ m$后,水面宽为多少?\

答案： 2$\sqrt{6}$m

22.在平面直角坐标系$xOy$中,我们称横坐标、纵坐标都是整数的点为“完美点”.抛物线$y= ax^{2}-2ax+2a(a为常数且a＞0)与y轴交于点A$.
(1)若$a= 1$,求抛物线的顶点坐标.
(2)若线段$OA$(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求$a$的取值范围.
(3)若抛物线与直线$y= x交于M,N$两点,线段$MN$与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求$a$的取值范围.\\

答案：
(1)当a=1时，抛物线y=x²−2x+2=(x−1)²+1,则顶点坐标为(1,1).
(2)令x=0,则y=2a,
∴A(0,2a).
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个.
∵a＞0,
∴当“完美点”个数为4个时，分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3);当“完美点”个数为5个时，分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4).
∴3≤2a＜5.
∴a的取值范围是$\frac{3}{2}$≤a＜$\frac{5}{2}$.
(3)根据y=ax²−2ax+2a=a(x−1)²+a,得抛物线的顶点坐标为(1,a)，过点P(2,2a)，Q(3,5a)，R(4,10a).抛物线与直线y=x交于M,N两点,线段MN与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”，显然，“完美点”(1,1),(2,2),(3,3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2,1),(3,2)的两种情况:当抛物线经过(2,1)时，如图①所示，解得a=$\frac{1}{2}$,此时,P(2,1),Q(3,$\frac{5}{2}$),R(4,5).满足题意的“完美点”有(1,1),(2,1),(2,2),(3,3)，共4个.当抛物线经过(3,2)时，如图②所示，解得a=$\frac{2}{5}$,此时,P(2,$\frac{4}{5}$),Q(3,2),R(4,4).满足题意的“完美点”有(1,1),(2,1),(2,2)，(3,2)，(3,3),(4,4),共6个.综上所述,a的取值范围是$\frac{2}{5}$＜a≤$\frac{1}{2}$.