《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

一般来说,二次函数$y= ax^{2}+bx+c$(其中$a＞0$)在$x= $______时取得最小值.
若自变量的取值范围是$x_{1}\leqslant x\leqslant x_{2}$.
(1)当$x_{1}＜-\dfrac{b}{2a}＜x_{2}$时,则$x= $______时,二次函数$y= ax^{2}+bx+c$取得最小值.
(2)当$-\dfrac{b}{2a}＜x_{1}＜x_{2}$时,则$x= $______时,二次函数$y= ax^{2}+bx+c$取得最小值.
(3)当$x_{1}＜x_{2}＜-\dfrac{b}{2a}$时,则$x= $______时,二次函数$y= ax^{2}+bx+c$取得最小值.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的极值问题。
对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
由于$a ＞ 0$，所以函数开口向上，即在对称轴上取得最小值。
对于自变量的取值范围$x_{1} \leqslant x \leqslant x_{2}$内的最小值问题，需要比较对称轴$x = -\frac{b}{2a}$与区间端点的关系。
(1) 当$x_{1} ＜ -\frac{b}{2a} ＜ x_{2}$时，对称轴在区间内，因此最小值出现在对称轴上，即$x = -\frac{b}{2a}$。
(2) 当$-\frac{b}{2a} ＜ x_{1} ＜ x_{2}$时，对称轴在区间左侧，由于函数开口向上，所以在区间$x_{1} \leqslant x \leqslant x_{2}$内，最小值出现在$x = x_{1}$。
(3) 当$x_{1} ＜ x_{2} ＜ -\frac{b}{2a}$时，对称轴在区间右侧，同样由于函数开口向上，所以在区间$x_{1} \leqslant x \leqslant x_{2}$内，最小值出现在$x = x_{2}$。
【答案】：
$-\frac{b}{2a}$；
(1)$-\frac{b}{2a}$；
(2)$x_{1}$；
(3)$x_{2}$

例 某宾馆有50间相同的客房,当房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.统计表明,当房价每上调10元,就会有一个房间空闲.宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用.根据规定,该宾馆房价每天不得高于340元.设该宾馆房价上调$x$元($x$为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为$y$(单位：间),直接写出$y关于x的函数解析式及自变量x$的取值范围.
(2)设宾馆一天的利润为$w$元,求$w关于x$的函数解析式.
(3)房价为多少时,宾馆的利润最大？最大利润是多少？
分析：本题考查了二次函数的应用,即如何将实际问题转化为数学模型.在求最值时请特别注意,自变量的取值范围不一定是全体实数,要多考虑二次函数的增减性.
解：(1)由题意,得$y= 50-\dfrac{x}{10}$,$0\leqslant x\leqslant 160$,且$x$为10的正整数倍.
(2)$w= (180 - 20+x)\left(50-\dfrac{x}{10}\right)$,即$w= -\dfrac{1}{10}x^{2}+34x + 8000$($0\leqslant x\leqslant 160$).
(3)$w= -\dfrac{1}{10}(x - 170)^{2}+10890$($0\leqslant x\leqslant 160$).
抛物线的对称轴是直线$x = 170$,抛物线的开口向下,当$x＜170$时,$w随x$的增大而增大,
但$0\leqslant x\leqslant 160$,因而当$x = 160$时,即房价是340元时,利润最大,
此时一天订住的房间数是$50-\dfrac{160}{10}= 34$(间),最大利润是$34×(340 - 20)= 10880$(元).
答：房价为340元时一天可订住34间房间,此时宾馆一天利润最大,最大利润为10880元.

答案：
(1)解：由题意得，$y = 50 - \dfrac{x}{10}$，自变量$x$的取值范围为$0\leqslant x\leqslant 160$，且$x$为10的正整数倍。
(2)解：$w=(180 + x - 20)\left(50 - \dfrac{x}{10}\right)$，化简得$w=-\dfrac{1}{10}x^{2}+34x + 8000$（$0\leqslant x\leqslant 160$，且$x$为10的正整数倍）。
(3)解：$w=-\dfrac{1}{10}(x - 170)^{2}+10890$，抛物线对称轴为直线$x = 170$，开口向下，当$x ＜ 170$时，$w$随$x$增大而增大。因为$0\leqslant x\leqslant 160$，所以当$x = 160$时，$w$最大，此时房价为$180 + 160 = 340$元，$y=50-\dfrac{160}{10}=34$间，最大利润$w=34×(340 - 20)=10880$元。
答：房价为340元时，宾馆利润最大，最大利润是10880元。