《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1.弦的计算与证明中常用辅助线是过圆心作弦的____线,构造直角三角形计算.

答案： 【解析】：
本题考查的是圆内弦的计算与证明中常用的辅助线作法。在圆内，为了计算或证明与弦相关的性质，我们常常需要构造直角三角形。过圆心作弦的垂线，可以构造出直角三角形，从而利用勾股定理或其他直角三角形性质进行计算或证明。
【答案】：
垂

2.过圆内一点最长的弦为______,最短的弦为垂直于圆心与该点连线的弦.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆的基本性质。在圆中，过圆内一点的弦中，最长的弦是直径，因为直径是穿过圆心的特殊弦，其长度等于圆的直径，是圆中最长的弦。而最短的弦则是垂直于从圆心到该点的连线的弦，因为这样的弦与从圆心到该点的距离（即半径）构成直角三角形，由直角三角形的性质可知，斜边（即半径）最长，所以垂直于斜边的弦（即所求的最短弦）最短。
【答案】：
直径

例 如图,N为弦CD的中点,⊙O的半径为5,AB为过点N与CD不重合的非直径弦.
(1)如图①,比较AB与CD的大小,说明理由.

(2)如图②,$CD= 4\sqrt{5}$,若$AB\perp OC$,求四边形ADBC的面积.
分析：(1)计算AB,CD的长,再比较大小.
(2)$S_{四边形ADBC}= 2S_{\triangle ABC}$.
解：(1)作$OM\perp AB$,垂足为M,连接OB,OD,ON,如图①.
∵N为CD的中点,∴$CN= ND= \sqrt{OD^2-ON^2}$,

同理,$AM= MB= \sqrt{OB^2-OM^2}$,
$AB= 2BM= 2\sqrt{OB^2-OM^2}$,$CD= 2ND= 2\sqrt{OD^2-ON^2}$.
∵$OD= OB$,$ON＞OM$,∴$AB＞CD$.
(2)设OC交AB于点M,如图②.
$CN= ND= 2\sqrt{5}$,$ON= \sqrt{OC^2-CN^2}= \sqrt{5}$,$MN\cdot OC= ON\cdot CN$,得$MN= 2$,
∴$CM= \sqrt{NC^2-MN^2}= 4$,$OM= OC-CM= 1$,$BM= \sqrt{OB^2-OM^2}= 2\sqrt{6}$.
∵N为CD中点,∴$S_{\triangle CBN}= S_{\triangle BDN}$,$S_{\triangle CAN}= S_{\triangle AND}$,
∴$S_{四边形ADBC}= 2S_{\triangle ABC}= AB\cdot CM= 16\sqrt{6}$.

答案：
(1)解：作$OM\perp AB$，垂足为$M$，连接$OB$，$OD$，$ON$。
$\because N$为$CD$的中点，$\therefore CN=ND=\sqrt{OD^2-ON^2}$。
同理，$AM=MB=\sqrt{OB^2-OM^2}$。
$\therefore AB=2\sqrt{OB^2-OM^2}$，$CD=2\sqrt{OD^2-ON^2}$。
$\because OD=OB=5$，$ON＞OM$，$\therefore AB＞CD$。
(2)解：设$OC$交$AB$于点$M$。
$\because CD=4\sqrt{5}$，$N$为$CD$中点，$\therefore CN=2\sqrt{5}$。
$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$。
由$MN\cdot OC=ON\cdot CN$，得$MN=\frac{ON\cdot CN}{OC}=\frac{\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}=2$。
$CM=\sqrt{CN^2-MN^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=4$，$OM=OC-CM=5-4=1$。
$BM=\sqrt{OB^2-OM^2}=\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt{6}$，$AB=2BM=4\sqrt{6}$。
$\because N$为$CD$中点，$\therefore S_{四边形ADBC}=2S_{\triangle ABC}=AB\cdot CM=4\sqrt{6}×4=16\sqrt{6}$。

1.往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽$AB= 48$ cm,则水的最大深度为( )

A.8 cm
B.10 cm
C.16 cm
D.20 cm

答案： C