《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

7.如图,在平面直角坐标系中,直线AB经过点$P(3,4)$,与两坐标轴正半轴相交于A,B两点.当$\triangle AOB$的面积最小时,$\triangle AOB$的内切圆的半径是( ).

A.$2$
B.$3.5$
C.$\frac{14-7\sqrt{2}}{2}$
D.$4$

答案： A

8.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为______.

答案： 289(提示:设直角三角形边长为a,b,c,其中a＜b＜c,内切圆半径为r,小正方形边长为l,找出数量关系a+l=b,a+b−2r=c,a²+b²=c²,求出c.)

9.如图,圆心角为$90^{\circ}$的扇形OAB的$\overset{\frown}{AB}$上有一动点P,过点P作$PH\perp OA$,垂足为H,设点I为$\triangle OPH$的内心.
(1)求$\angle PIO$的度数.
(2)连接AI,AP,猜想$\triangle API$是什么三角形,并证明.

答案：

(1)
∵I是△OPH的内心，
∴PI和OI是∠HPO和∠POH的平分线，
∴∠OPI+∠POI=$\frac{1}{2}$(∠HPO+∠POH)=$\frac{1}{2}$×90°=45°,
∴∠PIO=180°−45°=135°.
(2)连接AI,AP(如图)，在△OPI和△OAI中，$\left\{\begin{array}{l} OP=OA,\\ ∠POI=∠AOI,\\ OI=OI,\end{array}\right. $
∴△OPI≌△OAI(SAS),
∴AI=PI,∠AIO=∠PIO=135°,
∴∠PIA=360°−135°−135°=90°,即△API是等腰直角三角形.

10.如图,已知点E是$\triangle ABC$的内心,AE的延长线和$\triangle ABC$的外接圆相交于点D,AD,BC交于点F.求证：$DE= DB$.

答案：
如图,连接BE.
∵AE,BE分别为∠BAC,∠ABC 的平分线，
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠BED=∠1+∠3,
∴∠BED=∠2+∠4.
∵∠4=∠5,
∴∠BED=∠2+∠5=∠EBD,
∴DE=DB.