《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

9.已知锐角$\angle AOB= 40^{\circ}$,如图,按下列步骤作图：①在$OA边取一点D$,以$O$为圆心,$OD长为半径画\overset{\frown}{MN}$,交$OB于点C$,连接$CD$.②以$D$为圆心,$DO长为半径画\overset{\frown}{GH}$,交$OB于点E$,连接$DE$.则$\angle CDE$的度数为( ).

A.$20^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

答案： B 提示:
∵以O为圆心,OD长为半径画$\widehat {MN}$,交OB于点C，
∴OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∵∠AOB=40°,
∴∠ODC=∠OCD=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°,
∵以D为圆心,DO长为半径画$\widehat {GH}$,交OB于点E，
∴DO=DE,
∴∠DOE=∠DEC=40°,
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE,
∴70°=40°+∠CDE,
∴∠CDE=30°.

10.如图,$AB是\odot O$的直径,$BC是\odot O$的弦,先将$\overset{\frown}{BC}沿BC$翻折,交$AB于点D$.再将$\overset{\frown}{BD}沿AB$翻折,交$BC于点E$.若$\overset{\frown}{BE}= \overset{\frown}{DE}$,设$\angle ABC= \alpha$,则$\alpha$所在的范围是( ).

A.$21.9^{\circ}＜\alpha＜22.3^{\circ}$
B.$22.3^{\circ}＜\alpha＜22.7^{\circ}$
C.$22.7^{\circ}＜\alpha＜23.1^{\circ}$
D.$23.1^{\circ}＜\alpha＜23.5^{\circ}$

答案：
B 提示:将$\odot O$沿BC翻折得到$\odot O'$,将$\odot O'$沿BD翻折得到$\odot O''$,则$\odot O$、$\odot O'$、$\odot O''$为等圆.如图所示.　　　　　　　
∵$\odot O$与$\odot O'$为等圆,劣弧AC与劣弧CD所对的圆周角均为∠ABC，
∴$\widehat {AC}=\widehat {CD}$.同理:$\widehat {DE}=\widehat {CD}$.又
∵E是劣弧BD的中点，
∴$\widehat {DE}=\widehat {BE}$.
∴$\widehat {AC}=\widehat {DC}=\widehat {DE}=\widehat {EB}$.
∵$\widehat {AC}+\widehat {DC}+\widehat {DE}+\widehat {EB}=\widehat {AB}$,
∴$\widehat {AC}$对应的圆心角的度数=180°÷4=45°.
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°.即α=22.5°.

11.如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 2\sqrt{3}$,$BC= 3$.点$P为\triangle ABC$内一点,且满足$PA^2+PC^2= AC^2$.当$PB$的长度最小时,求$\triangle ACP$的面积.

答案：

∵$PA^{2}+PC^{2}=AC^{2},$
∴∠APC=90°,取AC的中点O,并以O为圆心,$\frac{1}{2}$AC长为半径画圆,由题意知,当B,P,O三点共线时,BP最短,
∴AO=PO=CO.
∵CO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$,BC=3,
∴BO=$\sqrt{BC^{2}+CO^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∴BP=BO−PO=$\sqrt{3}$,
∴点P是BO的中点.
∴在$Rt△BCO$中,CP=$\frac{1}{2}$BO=$\sqrt{3}$=PO,
∴在$Rt△APC$中,由勾股定理得AP=3,
∴$S_{△APC}=\frac{1}{2}$AP·CP=$\frac{3×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.