《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

5. 如图,PA,PB 分别切$\odot O$于 A,B 两点,C 为优弧$\overset{\frown}{ACB}$上一点,D 为劣弧$\overset{\frown}{AB}$上一点.
(1)求证：$\angle D= 90^\circ+\frac{1}{2}\angle P$.
(2)求证：$\angle C= 90^\circ-\frac{1}{2}\angle P$.

答案： 提示:连接 OA,OB,利用切线的性质定理、圆周角定理等即可求证.

6. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,以 BC 为直径的$\odot O$交 AB 于点 D,切线 DE 交 AC 于点 E.
(1)求证：$\angle A= \angle ADE$.
(2)若$AD= 8$,$DE= 5$,求 BC 的长.

答案：
(1)连接 OD,得∠ABC=∠BDO.由∠ADE+∠BDO=∠A+∠ABC=90°,推出∠A=∠ADE.
(2)连接 CD,可得 DE=AE=EC,AC=2DE=10,DC=6.设 BD=x,在 Rt△BDC 和 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得$x^{2}+6^{2}=(x+8)^{2}-10^{2}$,解得$x=\frac{9}{2}$,
∴$BC=\frac{15}{2}$.

7. 如图,AB 为$\odot O$的直径,CD,CB 为$\odot O$的切线,D,B 为切点.OC 交$\odot O$于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 F.连接 AD,BD.给出以下结论：①$AD// OC$；②点 E 为$\triangle CDB$的内心；③$FC= FE$.其中正确的结论是( ).

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

答案： A

8. 如图,$\odot O与\triangle ADE$各边所在直线都相切,切点为 C,M,N,$DE\perp AE$.
(1)若$AE= 8$,$AD= 10$,求$\odot O$的半径.
(2)若$\angle EAD= 30^\circ$,求$\angle DOE$的度数.

答案：
(1)由 DE⊥AE,AE=8,AD=10,根据勾股定理求得 DE=6,由切线长定理知 AC=AN,DM=DC,EM=EN,
∴AD+DE+AE=AD+DM+ME+AE=AD+DC+EN+AE=2AN=24,
∴AN=12,EN=4,连接 OM,ON,四边形 OMEN 为正方形,
∴⊙O 的半径为 4.
(2)连接 OC,OM,ON,
∵∠EAD=30°,AC,AN,DE 为圆的切线,
∴∠CON=150°,∠COD=∠DOM,∠MOE=∠EON,
∴∠CON=2∠DOE,
∴∠DOE=75°.