《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

23. (1)如图①,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD,DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①线段DB和DG的数量关系是______.
②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系______.
(2)若四边形ABCD为菱形,∠ADC= 60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD,DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.如图②,点E在线段AB上时,请探究线段BE,BF和BD之间的数量关系,写出结论并说明理由.

答案：

(1)①DB＝DG
②$BF+BE=\sqrt{2}BD$
(2)如图，$BF+BE=\sqrt{3}BD$．

理由如下：可证明∠DBG＝∠G＝30°，
∴DB＝DG，
∴△EDB≌△FDG(ASA)，
∴BF＋BE＝BF＋FG＝BG．
过点D作DM⊥BG，垂足为M．
∵BD＝DG，
∴BG＝2BM．
在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，
∴BD＝2DM．
设DM＝a，则BD＝2a，$BM=\sqrt{3}a$，
∴$BG=2\sqrt{3}a$，
∴$\dfrac{BD}{BG}=\dfrac{2a}{2\sqrt{3}a}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
∴$BG=\sqrt{3}BD$，
∴$BF+BE=BG=\sqrt{3}BD$．

24. 如图,四边形ABCD为菱形,点E是BC的中点,∠AEF= ∠ABC= α.
(1)若α= 90°,且CF平分∠BCD的外角.
①如图①,求证：AE= EF.
②如图②,连接AF,交CD于点M.若AB= 6,求DM的长.
(2)如图③,若α= 120°,EF= AE,连接AF,交CD于点M,则$\frac{DM}{CM}$的值为______(直接写出结果).

答案：

(1)①证明：取AB的中点G，连接EG，

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝AD．
∵点G，E分别为AB，BC的中点，
∴$BE=EC=\dfrac{1}{2}BC$，$AG=BG=\dfrac{1}{2}AB$，
∴AG＝BG＝BE＝EC，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°．
∵CF是正方形外角的角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°，
∴∠AGE＝∠ECF．
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＋∠FEC＝90°，
∵∠AEB＋∠GAE＝90°，
∴∠FEC＝∠GAE．
在△AGE和△ECF中，
$\begin{cases} ∠EGA=∠FCE, \\ AG=EC, \\ ∠GAE=∠FEC, \end{cases}$
∴△AGE≌△ECF(ASA)，
∴AE＝EF．
②如图②，取AB的中点G，连接GE，过点F作FN⊥CD于点N，连接DF，

由
(1)可知△AGE≌△ECF，
∴GE＝CF．
∵BE＝BG，∠B＝90°，
∴$GE=\sqrt{2}BE$．
∵∠DCF＝45°，NF⊥CD，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴$CF=\sqrt{2}CN=\sqrt{2}NF$，
∴$BE=CN=NF=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}CD=3$，
∴DN＝CN＝3．
∵$S_{\triangle ADF}=\dfrac{1}{2}AD\cdot DN=\dfrac{1}{2}DM\cdot AD+\dfrac{1}{2}DM\cdot NF$，
∴6×3＝DM(3＋6)，
∴DM＝2．
(2)$\dfrac{1}{3}$