《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

22.石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.根据某石拱桥的实物图画出的几何图形如图所示,桥的主桥拱是圆弧形,表示为$\overset{\frown}{AB}$.桥的跨度(弧所对的弦长)AB= 26 m,设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD= 5 m.连接OB.
(1)直接判断AD与BD的数量关系.
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m).

答案：
(1)AD = BD.
(2)设主桥拱半径为R m，由题意可知AB = 26 m，CD = 5 m，
∴$BD = \frac{1}{2}AB = 13$m，$OD = OC - CD = (R - 5)$m.
∵∠ODB = 90°，
∴$OD^{2} + BD^{2} = OB^{2}$，
∴$(R - 5)^{2} + 13^{2} = R^{2}$，
解得$R = 19.4 \approx 19$，
∴这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m.

23.如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC= ∠CPB= 60°.
(1)判断△ABC的形状：______.
(2)试写出线段PA,PB,PC之间的数量关系,并说明理由.
(3)若⊙O的半径为1,当点P位于$\overset{\frown}{AB}$的什么位置时,四边形APBC的面积最大？求出最大面积.

答案：
(1)等边三角形
(2)PC = PA + PB.
证明：在PC上取点D，使AP = PD，连接AD，
由
(1)知△ABC为等边三角形，
∴AB = AC.
∵AP = PD，∠APC = 60°，
∴△PAD为等边三角形，
∴AD = AP，∠PAD = 60°.
∵∠PAB = ∠PAD - ∠BAD = 60° - ∠BAD，∠DAC = ∠CAB - ∠BAD = 60° - ∠BAD，
∴∠PAB = ∠DAC，
∴△PAB≌△DAC(SAS)，
∴CD = BP.
∵PD + CD = PC，
∴PC = PA + PB.
(3)点P位于$\overset{\frown}{AB}$的中点时，四边形APBC的面积最大，最大面积为$\sqrt{3}$.

24.如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD.
(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论.
(2)若AB= 10,BE= 2√10,求BC的长.

答案：

(1)△BDE为等腰直角三角形.理由如下：
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠CBE.
∵∠BED = ∠BAE + ∠ABE，∠DBE = ∠CBD + ∠CBE，
∴∠BED = ∠DBE，
∴BD = ED.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°.
∴△BDE是等腰直角三角形.
(另解：计算∠AEB = 135°也可以得证.)
(2)连接OC，CD，OD，点F为OD与BC的交点.
∵∠CBD = ∠CAD = ∠BAE = ∠BCD，
∴BD = CD.
∵OB = OC，
∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形，$BE = 2\sqrt{10}$，
∴$BD = 2\sqrt{5}$.
∵AB = 10，
∴OB = OD = 5.
设OF = t，则DF = 5 - t，
在Rt△BOF和Rt△BDF中
$OB^{2} - OF^{2} = BF^{2} = BD^{2} - DF^{2}$，
∴$5^{2} - t^{2} = (2\sqrt{5})^{2} - (5 - t)^{2}$，
解得t = 3，
∴OF = 3，
∴BF = 4.
∴BC = 8.
(另解：分别延长AC，BD相交于点G.则△ABG为等腰三角形，先计算$AG = 10$，$BG = 4\sqrt{5}$，$AD = 4\sqrt{5}$，再根据面积相等求得BC.)