《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

8. 一元二次方程$x(x - 2) = 0$的根的情况是( ).

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

9. 若方程$(x - 2)(3x + 1) = 0$,则$3x + 1$的值为( ).

A.7
B.2
C.0
D.7或0

答案： D

10. 等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于$x的方程x^2 - 4x + k = 0$的两个根,则$k$的值为( ).

A.3
B.4
C.3或4
D.7

答案： C

11. 方程$x^3 - x = 0$的实数解为( ).

A.0,1
B.1,-1
C.0,-1
D.0,1,-1

答案： D

12. 是否存在实数$k$,使方程$(k - 1)x^2 - (k + 2)x + 4 = 0$有两个相等的正整数实数根？若存在,求出$k$的值；若不存在,请说明理由.

答案： 根据题意得[-(k+2)]^{2}-4(k-1)×4=0,化简得k^{2}-12k+20=0,解得k=2 或k=10.当k=2时,可求得x_{1}=x_{2}=2.当k=10时,可求得$x_{1}=x_{2}=\frac {2}{3}($不合题意,舍去).故当k=2时,方程有两个相等的正整数实根.

13. 已知关于$x的一元二次方程x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$.
(1)求证：无论$k$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为$x_1$,$x_2$,且$k与\frac{x_1}{x_2}$都为整数,求$k$所有可能的值.

答案： 13.
(1)
∵Δ=[-(2k+1)]^{2}-4×1×(k^{2}+k)=4k^{2}+4k+1-4k^{2}-4k=1＞0,
∴无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)
∵x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0,
∴(x-k)(x-k-1)=0,
∴x-k=0或x-k-1=0,
∴x_{1}=k,x_{2}=k+1或x_{1}=k+1,x_{2}=k.当x_{1}=k,x_{2}=k+1时$,\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {k}{k+1}=1-\frac {1}{k+1},$
∵k与$\frac {x_{1}}{x_{2}}$都为整数,
∴k=0或-2.当x_{1}=k+1,x_{2}=k时$,\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {k+1}{k}=1+\frac {1}{k},$
∵k与$\frac {x_{1}}{x_{2}}$都为整数,
∴k=1或-1.
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1.