《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

10. 如图,点 $ A $,$ B $ 在 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 的图象上. 已知 $ A $,$ B $ 的横坐标分别为 $ -2 $,$ 4 $,直线 $ AB $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,连接 $ OA $,$ OB $.
(1) 求直线 $ AB $ 的函数解析式.
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积.
(3) 若函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 的图象上存在点 $ P $,使 $ \triangle PAB $ 的面积等于 $ \triangle AOB $ 的面积的一半,则这样的点 $ P $ 共有______个.

答案：
(1)$ y=\frac{1}{2}x+2 $.
(2)$ S_{\triangle AOB}=6 $.
(3)4

11. 已知二次函数 $ y = ax^2(a \geq 1) $ 的图象上两点 $ A $,$ B $ 的横坐标分别为 $ -1 $,$ 2 $,$ O $ 是坐标原点. 若 $ \triangle AOB $ 是直角三角形,求 $ \triangle AOB $ 的周长.

答案：
如图,过点 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 F,D,过点 A 作 $ AE\perp BD $ 于 E,点 $ A(-1,a),B(2,4a) $,由勾股定理,得 $ OA=\sqrt{a^{2}+1},OB=\sqrt{4+16a^{2}} $,$ AE=1+2=3,BE=BD-DE=4a-a=3a $,$ AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{9+9a^{2}} $,因为 $ a\geq1 $,故 OA 边最小,不能为斜边. 若 OB 为斜边,则 $ OB^{2}=OA^{2}+AB^{2} $,即 $ 4+16a^{2}=a^{2}+1+9+9a^{2} $,解得 $ a_{1}=1,a_{2}=-1 $(不合题意,舍去),$ \triangle AOB $ 的周长 $ =\sqrt{2}+\sqrt{20}+\sqrt{18}=4\sqrt{2}+2\sqrt{5} $.若 AB 为斜边,则 $ AB^{2}=OA^{2}+OB^{2} $,即 $ 9+9a^{2}=a^{2}+1+4+16a^{2} $,解得 $ a=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(a\geq1 $,不合题意,舍去).综上所知,$ \triangle AOB $ 的周长为 $ 4\sqrt{2}+2\sqrt{5} $.