《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

8. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB= 90°,AB= √2,点 C 是矩形 ECGF 与△ABC 的公共顶点,CE= 1,CG= 3.点 D 是 CB 延长线上的一点,CD= 2.连接 BG,DF,在矩形 ECGF 绕点 C 按顺时针方向旋转一周的过程中,当线段 BG 最长和最短时,线段 DF 对应的长度分别为 m 和 n,则 m/n 的值为( ).

A.2
B.3
C.√10
D.√13

答案： D

9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠B= 60°,∠A= 30°,BC= 2,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转角β(β＜90°),得到△EDC,此时点 D 在 AB 边上,斜边 DE 交 AC 边于点 F,则 β= ______,图中阴影部分的面积为______.

答案： $60^{\circ}$　$\frac{\sqrt{3}}{2}$

10. 如图,我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形被称为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形 ABCD 中,AB= 10.有下列三个结论：①若 4AF= 3DF,则 EF= 2；②若 Rt△ABG 的面积是正方形 EFGH 面积的 3 倍,则点 F 是 AG 的三等分点；③将△ABG 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADG',则 BG'的值可以为 5√5+5.其中正确的结论是( ).

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： D

11. 如图①,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB= 90°,△ACD 是等边三角形.

(1)填空：当△ACD 绕点 C 顺时针旋转______时,旋转后的△ACD 与△ABC 构成一个轴对称图形(旋转的角度小于 360°).
(2)把图①中△ACD 绕点 C 顺时针旋转 60°,连接 AB,设线段 CA 与 DB 相交于点 F,如图②.


①求证：BA= BF.
②若 DC= 2,求四边形 DCBA 的面积.

答案：
11.
(1)$75^{\circ}$或$255^{\circ}$
提示:
∵等腰直角三角形的对称轴是斜边的中线所在的直线，等边三角形的对称轴可以是任意一边的中线所在的直线，
∴当△ACD旋转至A'D'//AB时,或A"D"//AB时，旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形.
　　　　　
当△ACD旋转至△A'CD′时:
　　　　　　
∵△A'CD'与△ABC构成一个轴对称图形，
∴∠ACD'=∠BCA'.
∵△A'CD'是等边三角形，
∴∠A'CD'=60°.
∵∠ACB=90°,∠ACD'=∠BCA',
∴∠ACD'=15°.
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°.
∵∠ACD'=15°,
∴∠DCD'=75°,
∴当△ACD绕点C顺时针旋转75°时,△A'CD'与△ABC构成一个轴对称图形.
同理可得，当△ACD绕点C顺时针旋转255°时，△A"CD"与△ABC构成一个轴对称图形.
(2)①证明:
∵△DCB是等腰直角三角形，
∴CD=BC,∠CBD=45°.
∵△ACD是等边三角形
∴∠ACD=60°,AC=CD.
∵CD=BC,
∴BC=AC,
∴∠CAB=∠CBA.
∵∠ACD=60°,∠BCD=90°,
∴∠BCA=90°−60°=30°,
∴∠CAB=∠CBA=75°.
∵∠CBD=45°,
∴∠ABF=∠CBA−∠CBD=75°−45°=30°,
∴∠AFB=180°−∠ABF−∠CAB=180°−30°−75°=75°.
∴∠AFB=∠CAB,
∴BA=BF.
②作△BCA边BC上的高AH.
　　　　　　　
∵∠ACH=90°−60°=30°,AH⊥BC,
∴AH=$\frac{1}{2}$CA.
∵CA=DC=2,
∴AH=1.
∵△ACD是等边三角形,AC=2，
∴$S_{\triangle ACD}=\sqrt{3}$
∵BC=DC=2,AH=1,
∴$S_{\triangle BCA}=\frac{1}{2}$×2×1=1.
∵$S_{四边形DCBA}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCA}$,
∴$S_{四边形DCBA}=\sqrt{3}+1$.