《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

8. (玉溪红塔区一模)如图，在半径为6的⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\angle C = 70^{\circ}$，则$\overset{\frown}{BC}$的长为（ ）

A.$\frac{4}{3}\pi$
B.$\frac{7}{3}\pi$
C.$\frac{8}{3}\pi$
D.$4\pi$

答案： C

9. (昆明盘龙区期末)如图，在半径为2，圆心角为$90^{\circ}$的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）

A.$\pi - 1$
B.$\pi - 2$
C.$\frac{1}{2}\pi - 1$
D.$\frac{1}{2}\pi - 2$

答案： A

10. 新考向 跨学科(衡阳中考)如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了$120^{\circ}$，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______cm。(结果保留$\pi$)

答案： 4π

11. (玉林中考)数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以点A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计)，则所得扇形DAB的面积是______。

答案： 1

12. (昆明中考)如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为______。(结果保留根号和$\pi$)

答案： $\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{3}$

13. (云南中考)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，$\angle BCD = \angle BAC$。
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若$\angle D = 30^{\circ}$，$BD = 2$，求图中阴影部分的面积。(结果保留$\pi$)

答案： 解：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA.
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°.
∴∠OCD=90°，即CD⊥OC.又
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.（2）设⊙O的半径为r，则AB=2r.
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°.
∴r+2=2r.
∴r=2.
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，∠AOC=120°.
∴BC=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=2$\sqrt{3}$.
∴$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\sqrt{3}$，$S_{扇形OAC}=\frac{120\pi×4}{360}=\frac{4\pi}{3}$.
∴$S_{阴影}=\frac{4}{3}\pi-\sqrt{3}$.

14. (昆明三中期中)如图，放置在直线l上的扇形AOB由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径$OA = 2$，$\angle AOB = 45^{\circ}$，则点O所经过的最短路径的长是（ ）

A.$2\pi + 2$
B.$3\pi$
C.$\frac{5\pi}{2}$
D.$\frac{5\pi}{2} + 2$

答案： C