《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

9. 在平面直角坐标系中，若抛物线$y = 3x^2$不动，而把$x$轴、$y$轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为y=3(x+1)^2-1。

答案： 9.$ y=3(x+1)^2-1 $

10.(昭通昭阳区期中)对于抛物线$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 2$的说法错误的是(D)

A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标是$(1,2)$
C.抛物线的对称轴是直线$x = 1$
D.当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小

答案： 10.D

11. 若二次函数$y = (x + m)^2 + n$的图象如图所示，则点$(m,n)$在(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 11.C

12.(昆明官渡区期中)设$A(2,y_1)$，$B(3,y_2)$，$C(-4,y_3)$是抛物线$y = 3(x - 1)^2 + k$图象上的三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系为(A)

A.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
B.$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
C.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
D.$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$

答案： 12.A

13. 如图，这是二次函数$y = a(x + 1)^2 + 2$图象的一部分，图象与$x$轴的一个交点为$A(-3,0)$，顶点为$P$。根据图象解答下列问题：
（1）求$a$的值和抛物线与$x$轴的另一个交点$B$的坐标；

（2）求$\triangle PAB$的面积。

答案： 13.解:
(1)将(-3,0)代入 $ y=a(x+1)^2+2 $,得 $ 0=4a+2 $,解得 $ a=-\dfrac{1}{2} $.
∵抛物线的对称轴为直线 $ x=-1 $,A,B 两点关于对称轴对称,
∴点 B 的坐标为(1,0).
(2)
∵$ y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2 $,
∴P(-1,2).
∵A(-3,0),B(1,0),
∴$ AB=1-(-3)=4 $.
∴$ S_{\triangle PAB}=\dfrac{1}{2}×4×2=4 $.

14. 已知抛物线$y = -(x - m)^2 + 1$与$x$轴的交点为$A$，$B$（点$B$在点$A$的右边），与$y$轴的交点为$C$。
（1）新考向 开放性问题 写出$m = 1$时与抛物线有关的三个正确结论；
（2）当点$B$在原点的右边，点$C$在原点下方时，是否存在$\triangle BOC$为等腰三角形的情形？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由。

答案： 14.解:
(1)正确的结论有:①顶点坐标为(1,1);②图象开口向下;③图象的对称轴为直线 $ x=1 $;④函数有最大值 1;⑤当 $ x＜1 $ 时,y 随 x 的增大而增大;⑥当 $ x＞1 $ 时,y 随 x 的增大而减小等.
(2)由题意,若△BOC 为等腰三角形,则只能 $ OB=OC $.由 $ -(x-m)^2+1=0 $,解得 $ x=m+1 $ 或 $ x=m-1 $.
∵点 B 在点 A 的右边,
∴点 B 的横坐标为 $ x=m+1＞0 $,$ OB=m+1 $.又
∵当 $ x=0 $ 时,$ y=1-m^2＜0 $.由 $ m+1=m^2-1 $,解得 $ m=2 $ 或 $ m=-1 $(舍去).
∴存在△BOC 为等腰三角形的情形,此时 $ m=2 $.