《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

10. 下面给出五个命题：
①正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤正n边形的中心角$a_{n}=\frac{360^{\circ}}{n}$，且与每一个外角相等。
其中真命题有（ ）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： A

11. 正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（ ）

A.$4R = 5r$
B.$3R = 4r$
C.$2R = 3r$
D.$R = 2r$

答案： D

12. (曲靖中考)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是____。

答案： 2$\sqrt{3}$

13. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是____。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

14. (内江中考)如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且$BM = CN$，AM交BN于点P。
(1)求证：$\triangle ABM\cong\triangle BCN$；
(2)求$\angle APN$的度数。

答案： 14.解:
(1)证明:
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN.在△ABM和△BCN中，AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，
∴△ABM≌△BCN(SAS).
(2)
∵△ABM≌△BCN，
∴∠MBP=∠BAP.
∵∠APN是△ABP的外角，
∴∠APN=∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠MBP=∠MBA.
∴∠APN=∠MBA=$\frac{(5 - 2)×180°}{5}$=$\frac{3×180°}{5}$=108°.

15. 如图，M，N分别是半径为R的$\odot O$的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且$BM = CN$，连接OM，ON。
(1)图1中$\angle MON$的度数为____，$S_{四边形OMBN}=$____；(用含R的式子表示)
(2)图2中$\angle MON$的度数为____，图3中$\angle MON$的度数为____；
(3)①$\angle MON$的度数与正n边形的边数n的关系是____；(直接写出结果)
②当$n = 8$，$R = 2$时，求$S_{四边形OMBN}$的值。

答案：
15.解:
(1)120°　$\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$　
(2)90°　72°　
(3)①∠MON=$\frac{360°}{n}$ ②易证S_{四边形OMBN}=S_△OBC，当n=8时，∠BOC =$\frac{360°}{8}$=45°，如图，过点B作BH⊥OC于点H，则BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\sqrt{2}$，
∴S_{四边形OMBN}=S_△OBC=$\frac{1}{2}$OC·BH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2=$\sqrt{2}$.