《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

10. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，过点 A 作⊙O 的切线 AD. 若∠B = 35°，则∠DAC 的度数是______°.

答案： 35

11. (昆明西山区期末)如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，D，E，F 分别为切点，已知∠C = 90°，⊙O 半径长为 3 cm，AC = 10 cm，则 AD 长度为______cm.

答案： 7

12. (昆明官渡区期末)如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B，∠P = 58°，C 是⊙O 上异于 A，B 的点，则∠ACB 的度数为__________.

答案： 61°或119°

13. (昆明三中期中)如图，BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，且 AE 与⊙O 相切于点 A.
(1)求证：∠BAE = ∠BCA；
(2)若 AE//BC，BC = 8，AB = 2$\sqrt{5}$，求⊙O 的半径.

答案： 解:
(1)证明:连接OA.
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=90°.
∴∠D+∠ABD=90°.
∵AE与⊙O相切于点A,
∴∠OAE=90°.
∴∠OAB+∠BAE=90°.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∴∠D=∠BAE.
∵∠BCA=∠D.
∴∠BAE=∠BCA.
(2)连接OC,AO,设AO交BC于点H.
∵AE//BC,OA⊥AE,
∴OA⊥BC.
∴CH=BH= $\frac{1}{2}$BC=4.在Rt△ABH中,AH= $\sqrt{AB^2-BH^2}$=2.在Rt△OBH中,设OB=r.
∵OH²+BH²=OB².
∴(r-2)²+4²=r²,解得r=5.
∴⊙O的半径为5.

14. (曲靖期末)如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC，AC 边于点 D，F，过点 D 作 DE⊥CF 于点 E.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)AF - DE = 2，EF = 2，求⊙O 的半径.

答案： 解:
(1)证明:连接OD.
∵DE⊥CF,
∴∠DEC=∠DEF=90°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠B.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠B.
∴∠C=∠ODB.
∴OD//AC.
∴∠ODE=∠DEC=90°.
∴OD⊥DE.又
∵OD为⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)过点O作OG⊥AF于点G,
∴∠OGE=∠OGA=90°,AG=GF= $\frac{1}{2}$AF.又
∵∠DEG=∠ODE=90°,
∴四边形OGED为矩形.
∴OG=DE,OD=GE.设AG=GF=x,则OA=OD=GE=GF+EF=x+2,OG=DE=AF-2=2x-2.在Rt△OAG中,AG²+OG²=OA²,即x²+(2x-2)²=(x+2)².解得x₁=3,x₂=0(舍去).
∴OD=3+2=5,即⊙O的半径为5.

15. (昆明模拟)如图，在△ABC 中，∠BCA = 90°，以 AB 为直径的⊙O 与∠BAC 的平分线交于点 D，作 DE⊥AC 于点 E.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)若∠B = 30°，⊙O 的半径为 4，求$\overset{\LARGE{\frown}}{CD}$，线段 CE 及切线 DE 围成的阴影部分面积. (结果保留 π)

答案： 解:
(1)证明:连接OD.
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC.
∴∠ODA=∠DAC.
∴OD//AC.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE.又
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)连接DC,OC.
∵∠B=30°,∠BCA=90°,
∴∠BAC=60°.
∵OA=OC,
∴△OAC是等边三角形.
∴∠AOC=∠OCA=60°.
∵OD//AC,
∴∠DOC=∠OCA=60°.
∵OC=OD,
∴△COD是等边三角形.
∴DC=OD=4,∠ODC=60°.
∵∠ODE=90°,
∴∠CDE=30°.
∴CE=2,CD=2CE=4,DE= $\sqrt{CD^2-CE^2}$=2 $\sqrt{3}$.
∴S阴影=S△DCE-(S扇形OCD-S△OCD)= $\frac{1}{2}$CE·DE-($\frac{60\pi×4^2}{360}$-$\frac{1}{2}$OD·DE)=6 $\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$$\pi$.