《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

8. 一条抛物线的形状、开口方向与$y=\frac{1}{2}x^{2}-4x + 3$相同，顶点为$(-2,1)$，则此抛物线的解析式为(C)

A.$y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+1$
B.$y=\frac{1}{2}(x + 2)^{2}-1$
C.$y=\frac{1}{2}(x + 2)^{2}+1$
D.$y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}-1$

答案： C

9. (本课时T7变式)已知抛物线经过点$A(2,0)$和$B(-1,0)$，且与$y$轴交于点$C$。若$OC = 2$，则这条抛物线的解析式是$y=x^{2}-x-2$或$y=-x^{2}+x+2$。

答案： $y=x^{2}-x-2$或$y=-x^{2}+x+2$

10. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为$y=-x^{2}+2x+3$。
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答案： $y=-x^{2}+2x+3$

11. 如图，抛物线的顶点$M$在$y$轴上，抛物线与直线$y = x + 1$相交于$A$，$B$两点，且点$A$在$x$轴上，点$B$的横坐标为$2$，那么抛物线的函数关系式为$y=x^{2}-1$。
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答案： $y=x^{2}-1$

12. （宁波中考）已知抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$经过点$(1,0)$，$(0,\frac{3}{2})$。
(1) 求该抛物线的函数解析式；
(2) 将抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式。

答案： 12. 解：
(1)把$(1,0),(0,\frac {3}{2})$代入抛物线的函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l} -\frac {1}{2}+b+c=0,\\ c=\frac {3}{2}.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=-1,\\ c=\frac {3}{2}.\end{array}\right. $
∴该抛物线的函数解析式为$y=-\frac {1}{2}x^{2}-x+\frac {3}{2}$.
(2)$y=-\frac {1}{2}x^{2}-x+\frac {3}{2}=-\frac {1}{2}(x+1)^{2}+2$，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为$y=-\frac {1}{2}x^{2}$，其顶点恰好落在原点.

13. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx - 5(a\neq0)$经过点$A(4,-5)$，与$x$轴的负半轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C$，且$OC = 5OB$，抛物线的顶点为$D$。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 连接$AB$，$BC$，$CD$，$DA$，求四边形$ABCD$的面积。

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答案： 13. 解：
(1)
∵抛物线$y=ax^{2}+bx-5$与y轴交于点C，
∴点C的坐标为$(0,-5).\therefore OC=5.\because OC=5OB,\therefore OB=1$.又
∵点B在x轴的负半轴上，
∴点B的坐标为$(-1,0)$.将点$A(4,-5),B(-1,0)$代入$y=ax^{2}+bx-5$，得$\left\{\begin{array}{l} 16a+4b-5=-5,\\ a-b-5=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-4.\end{array}\right. $
∴该抛物线的解析式为$y=x^{2}-4x-5$.
(2)$\because y=x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9$，
∴顶点D的坐标为$(2,-9)$.连接AC.
∵$A(4,-5),C(0,-5),\therefore AC// x$轴，$AC=4.\therefore S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}×4×5=10,S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}×4×[-5-(-9)]=8.\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=18.$