《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点 1 根的判别式
一般地，式子叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的根的判别式，通常用希腊字母“$\Delta$”来表示。当 $\Delta＞0$ 时，方程有的实数根；当 $\Delta = 0$ 时，方程有的实数根；当 $\Delta＜0$ 时，方程实数根。

答案： $b^{2}-4ac$；两个不相等；两个相等；没有

1. 一元二次方程 $x^{2}-3x - 2 = 0$ 的根的判别式的值为(C)

A.$-1$
B.$1$
C.$17$
D.$-17$

答案： 1.C

2. (河南中考)一元二次方程 $x^{2}+x - 1 = 0$ 的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根

答案： 2.A

3. (曲靖月考)下列方程没有实数根的是(D)

A.$x^{2}-4 = 0$
B.$x^{2}-4x + 4 = 0$
C.$x^{2}-3x + 1 = 0$
D.$x^{2}-2x + 4 = 0$

答案： 3.D

4. (云南中考)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $c$ 的值为1。

答案： 4.1

5. （教材 9 上 P17 习题 T4 变式）不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1) $x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(2) $3x^{2}-x = 4x + 3$。

答案： 5.解:
(1)
∵a=1,b=-2√2,c=2,
∴Δ=(-2√2)²-4×1×2=0.
∴此方程有两个相等的实数根.
(2)化为一般形式为3x²-5x-3=0.
∵a=3,b=-5,c=-3,
∴Δ=(-5)²-4×3×(-3)=25+36=61＞0.
∴此方程有两个不相等的实数根.

知识点 2 用公式法解一元二次方程
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式 $x=$$(b^{2}-4ac\geqslant0)$，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

答案： $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

6. (云南中考)一元二次方程 $x^{2}-x - 2 = 0$ 的解是(D)

A.$x_{1}=1,x_{2}=2$
B.$x_{1}=1,x_{2}=-2$
C.$x_{1}=-1,x_{2}=-2$
D.$x_{1}=-1,x_{2}=2$

答案： 6.D

7. 用公式法解下列方程：
(1) $2x^{2}-3x + 1 = 0$；
(2) $9x^{2}+2 = -6x$。

答案： 7.解:
(1)a=2,b=-3,c=1.
∴Δ=b²-4ac=1＞0.
∴x=-(-3)±√1/2×2.
∴x₁=1,x₂=1/2.
(2)9x²+6x+2=0.
∵a=9,b=6,c=2,
∴Δ=b²-4ac=6²-4×9×2=-36＜0.
∴此方程无实数根.