《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

10. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(a - 1)x + a^{2}=0$ 的两个根互为倒数，求 $a$ 的值。
解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1。
由根与系数的关系，得 $a^{2}=$1。
解得 $a=$\pm1。
当 $a=$1 时，原方程化为x^{2}+1=0，根的判别式 $\Delta$＜ $0$，此方程没有实数根，所以舍去 $a=$1。所以 $a=$-1。

答案： 10.1 1 $\pm1$ 1 $x^{2}+1=0$ ＜ 没有 1 -1

11. (本课时 T10 变式)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}=0$ 的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$，且满足 $(1 + x_{1})(1 + x_{2})=3$，则 $k$ 的值为3。

答案： 11.3

12. (来宾中考)已知实数 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}+x_{2}=7,x_{1}x_{2}=12$，则以 $x_{1},x_{2}$ 为根的一元二次方程是(A)

A.$x^{2}-7x + 12 = 0$
B.$x^{2}+7x + 12 = 0$
C.$x^{2}+7x - 12 = 0$
D.$x^{2}-7x - 12 = 0$

答案： 12.A

13. (青海中考)在解一元二次方程 $x^{2}+bx + c = 0$ 时，小明看错了一次项系数 $b$，得到的解为 $x_{1}=2,x_{2}=3$；小刚看错了常数项 $c$，得到的解为 $x_{1}=1,x_{2}=5$。请你写出正确的一元二次方程x^{2}-6x+6=0。

答案： 13.$x^{2}-6x+6=0$

14. 新考向 开放性问题 (曲靖中考)一元二次方程 $x^{2}-5x + c = 0$ 有两个不相等的实数根且两根之积为正数。若 $c$ 是整数，则 $c=$1。(只需填一个)

答案： 14.1(答案不唯一)

15. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-3x - 1 = 0$ 的两根，不解方程求下列各式的值：
(1) $x_{1}+x_{2}$；
(2) $x_{1}x_{2}$；
(3) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
(4) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。

答案： 15.解:
(1)$x_{1}+x_{2}=3$.
(2)$x_{1}x_{2}=-1$.
(3)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=3^{2}-2×(-1)=11$.
(4)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{3}{-1}=-3$.

16. (曲靖期中)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+4x + k - 3 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$，且满足 $x_{1}=3x_{2}$，试求这个方程的两个实数根及 $k$ 的值。

答案： 16.解:
∵$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+4x+k-3=0$的两个根,
∴$\Delta=16-4(k-3)\geqslant0$.
∴$k\leqslant7$.
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$.
∵$x_{1}=3x_{2}$,
∴$x_{1}=-3$,$x_{2}=-1$.
∴$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{k-3}{1}=3$,解得$k=6$.
∴这个方程的两个实数根为$x_{1}=-3$,$x_{2}=-1$,$k$的值为6.

17.【整体思想】(德州中考)已知 $a$ 和 $b$ 是方程 $x^{2}+2024x - 4 = 0$ 的两个解，则 $a^{2}+2023a - b$ 的值为2028。

答案： 17.2028