《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

(云南中考)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上异于 B，C 的点，⊙O 外的点 E 在射线 CB 上，直线 EA 与 CD 垂直，垂足为 D，且 DA·AC = DC·AB. 设△ABE 的面积为 S₁，△ACD 的面积为 S₂.
(1)判断直线 EA 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若 BC = BE，S₂ = mS₁，求常数 m 的值.

答案：
(1)EA 与⊙O 相切,证明:连接 OA.
∵DA·AC=DC·AB,
∴$\frac {AC}{DC}=\frac {AB}{DA}$.
∵BC 是⊙O 的直径,$\therefore ∠BAC=∠ADC=90^{\circ }.\therefore △ABC\backsim △DAC.\therefore ∠ACB=∠ACD.\because OA=OC,\therefore ∠OAC=∠ACB=∠ACD.\therefore OA// CD.\therefore ∠OAE=∠CDE=90^{\circ }.\therefore OA⊥DE$.又
∵OA 为⊙O 的半径,
∴EA 与⊙O 相切.
(2)$\because OA// CD,\therefore △AOE\backsim △DCE.\therefore \frac {OA}{CD}=\frac {OE}{EC}$.设$BO=OC=OA=a$,则$BC=2a.\because BC=BE=2a,\therefore S_{△ABE}=S_{△ABC},OE=3a,EC=4a.\therefore \frac {a}{CD}=\frac {3a}{4a}.\therefore CD=\frac {4}{3}a.\because △ABC\backsim △DAC,\therefore \frac {BC}{AC}=\frac {AC}{CD}.\therefore AC^{2}=BC\cdot CD=\frac {8}{3}a^{2}.\because △ABC\backsim △DAC,\therefore \frac {S_{△ACD}}{S_{△ABC}}=(\frac {AC}{BC})^{2}=\frac {2}{3}.\therefore S_{2}=\frac {2}{3}S_{1}.\therefore m=\frac {2}{3}.$

1. (云南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上异于 A，B 的点，连接 AC，BC，点 D 在 BA 的延长线上，且∠DCA = ∠ABC，点 E 在 DC 的延长线上，且 BE⊥DC.
(1)求证：DC 是⊙O 的切线；

(2)若 $\frac{OA}{OD} = \frac{2}{3}$，BE = 3，求 DA 的长.

答案：
(1)证明:连接 OC.
∵OC=OB,$\therefore ∠ABC=∠OCB.\because ∠ABC=∠DCA,\therefore ∠OCB=∠DCA$.
∵AB 是⊙O 的直径,$\therefore ∠ACB=90^{\circ }$,即$∠ACO+∠OCB=90^{\circ }.\therefore ∠DCA+∠ACO=90^{\circ }$,即$∠DCO=90^{\circ }.\therefore DC⊥OC$.
∵OC 是⊙O 的半径,
∴DC 是⊙O 的切线.
(2)$\because \frac {OA}{OD}=\frac {2}{3}$,且$OA=OB$,
∴设$OA=OB=2x,OD=3x.\therefore BD=OD+OB=5x.\therefore \frac {OD}{BD}=\frac {3}{5}$.
∵BE⊥DC,OC⊥DC,
∴OC$// BE.\therefore △DCO\backsim △DEB.\therefore \frac {OC}{BE}=\frac {OD}{BD}=\frac {3}{5}.\because BE=3,\therefore OC=\frac {9}{5}.\therefore 2x=\frac {9}{5}.\therefore x=\frac {9}{10}.\therefore AD=OD-OA=3x-2x=x=\frac {9}{10}$.
∴DA 的长为$\frac {9}{10}.$

2. (红河泸西县期末)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，OD⊥AB 交⊙O 于点 F，交 AC 于点 E，且 DE = DC.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)延长 DO，交⊙O 于点 G，求证：CD² = DF·DG.

答案：
(1)证明:连接 OC,则$OC=OA.\therefore ∠OCA=∠OAC.\because OD⊥AB,\therefore ∠AOD=90^{\circ }.\because DE=DC,∠DEC=∠AEO,\therefore ∠DCE=∠DEC=∠AEO.\therefore ∠OCD=∠DCE+∠OCA=∠AEO+∠OAC=90^{\circ }.\therefore OC⊥CD$.又
∵OC 是⊙O 的半径,
∴CD 是⊙O 的切线.
(2)连接 CF,CG.
∵FG 是⊙O 的直径,$\therefore ∠FCG=90^{\circ }$.由
(1)得,$∠OCD=90^{\circ },\therefore ∠DCF=∠OCG=90^{\circ }-∠OCF.\because OC=OG,\therefore ∠OCG=∠G.\therefore ∠DCF=∠G.\because ∠D=∠D,\therefore △DCF\backsim △DGC.\therefore \frac {CD}{DG}=\frac {DF}{CD}.\therefore CD^{2}=DF\cdot DG.$