《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点 1 二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象
二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象是抛物线，对称轴是，顶点是。当 $ a ＞ 0 $ 时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点；当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点。$ |a| $ 越大，抛物线的开口。

答案： $y$轴；原点；上；低；下；高；越窄

1. 抛物线 $ y = 3x^2 $ 的开口向上，顶点坐标是(0,0)，对称轴是y轴。

答案： (0,0) y轴

2. 二次函数 $ y = -5x^2 $ 的大致图象是(D)

答案： D

3. 如果抛物线 $ y = (m - 1)x^2 $ 的开口向下，那么 $ m $ 的取值范围是(C)

A.$ m ＞ 1 $
B.$ m \geqslant 1 $
C.$ m ＜ 1 $
D.$ m \leqslant 1 $

答案： C

4. 请按要求画出函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 的图象：
(1) 列表：

(2) 描点；
(3) 连线；
(4) 点 $ (4,8) $，$ (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8}) $ 中，在该函数图象上的是。

答案：
(1)$\frac{9}{2}$ 2 $\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ 2 $\frac{9}{2}$
(2)
(3)图略
(4)(4,8)

5. 分别求出符合下列条件的抛物线 $ y = ax^2 $ 的解析式：
(1) 经过点 $ (-3,2) $；
(2) 与 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 开口大小相同，方向相反。

答案： 解:
(1)$\because y=ax^{2}$过点(-3,2),$\therefore 2=a×(-3)^{2}$,则$a=\frac{2}{9}$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{2}{9}x^{2}$.
(2)$\because y=ax^{2}$与抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$开口大小相同,方向相反,$\therefore a=-\frac{1}{3}$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}x^{2}$.

知识点 2 二次函数 $ y = ax^2 $ 的性质
在二次函数 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 图象中，①若 $ a ＞ 0 $，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而；②若 $ a ＜ 0 $，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而。

答案： 减小；增大；增大；减小

6. 已知二次函数 $ y = x^2 $，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。(填“增大”或“减小”)

答案： 减小

7. (本课时 T6 变式) (常州中考) 已知二次函数 $ y = (a - 1)x^2 $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则实数 $ a $ 的取值范围是$a＞1$。

答案： $a＞1$

8. 已知抛物线 $ y = ax^2 (a ＞ 0) $ 过 $ A(2, y_1) $，$ B(-1, y_2) $ 两点，则 $ y_1 $＞$ y_2 $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

答案： ＞