《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点1 二次函数与一元二次方程
（1）如果抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 与 $ x $ 轴有公共点，公共点的横坐标是 $ x_{0} $，那么当 $ x = x_{0} $ 时，函数值是 0. 因此 $ x = x_{0} $ 是方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的一个根；
（2）二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴的交点有三种情况：有个交点，有个交点，没有交点. 与此相对应，一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的根也有三种情况：有实数根，有______________实数根，没有实数根.

答案： 两；一；两个不相等；两个相等

1.(昭通月考)二次函数 $ y = x^{2}-2x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴的交点个数是(B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.B

2.(柳州中考)小兰画了一个函数 $ y = x^{2}+ax + b $ 的图象如图所示，则关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+ax + b = 0 $ 的解是(D)


A.无解
B.$ x = 1 $
C.$ x = -4 $
D.$ x = -1 $ 或 $ x = 4 $

答案： 2.D

3. 一元二次方程 $ x^{2}+x - 2 = 0 $ 的根为$x_{1}=1$,$x_{2}=-2$，故抛物线 $ y = x^{2}+x - 2 $ 与 $ x $ 轴的公共点坐标为$(1,0)$,$(-2,0)$.

答案： 3.$x_{1}=1$,$x_{2}=-2$ $(1,0)$,$(-2,0)$

4. 抛物线 $ y = 2x^{2}+8x + m $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点，则 $ m $ 的值为8.

答案： 4.8

5.(长春中考)若抛物线 $ y = x^{2}-x + c $($ c $ 是常数)与 $ x $ 轴没有交点，则 $ c $ 的取值范围是$c＞\dfrac{1}{4}$.

答案： 5.$c＞\dfrac{1}{4}$

6. 若抛物线 $ y = x^{2}+4x + 5 - m $ 与 $ x $ 轴有两个公共点，则 $ m $ 的取值范围是$m＞1$.

答案： 6.$m＞1$

7. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 中，函数 $ y $ 与自变量 $ x $ 的部分对应值如下表，则方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的一个解 $ x $ 的取值范围是(B)


A.$ 1\lt x\lt1.1 $
B.$ 1.1\lt x\lt1.2 $
C.$ 1.2\lt x\lt1.3 $
D.$ 1.3\lt x\lt1.4 $

答案： 7.B

8. 二次函数 $ y = x^{2}-x - 2 $ 的图象如图所示，则当函数值 $ y\lt0 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围是(C)


A.$ x\lt -1 $
B.$ x\gt2 $
C.$ -1\lt x\lt2 $
D.$ x\lt -1 $ 或 $ x\gt2 $
【拓展提问】当函数值 $ y\geqslant0 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围是$x\leqslant -1$或$x\geqslant 2$.

答案： 8.C 【拓展提问】$x\leqslant -1$或$x\geqslant 2$

9. 抛物线 $ y = -3x^{2}-x + 4 $ 与坐标轴的交点个数为3.

答案： 9.3

10. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的最小值为 2，则(B)

A.$ a\gt0,b^{2}-4ac = 0 $
B.$ a\gt0,b^{2}-4ac\lt0 $
C.$ a\lt0,b^{2}-4ac = 0 $
D.$ a\lt0,b^{2}-4ac\gt0 $

答案： 10.B

11. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象如图所示，下列说法错误的是(D)


A.$ a\lt0,b\gt0 $
B.$ b^{2}-4ac\gt0 $
C.方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的解是 $ x_{1}=5,x_{2}=-1 $
D.不等式 $ ax^{2}+bx + c\gt0 $ 的解集是 $ 0\lt x\lt5 $

答案： 11.D