《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点 用直接开平方法解一元二次方程
解形如 $x^{2}=p$ 或 $(mx \pm n)^{2}=p(p \geqslant 0)$ 的一元二次方程，先根据平方根的意义，把一元二次方程“开平方”转化为两个元____次方程，再求解。
如：解方程 $(x + 1)^{2}=9$，方程左边开平方得到两个一元一次方程____和____。

答案： 一；一；$x + 1 = 3$；$x + 1 = -3$

1. 下列方程能用直接开平方法求解的是(C)

A.$5x^{2}+2=0$
B.$4x^{2}-2x + 1=0$
C.$(x - 2)^{2}=4$
D.$3x^{2}+4=2$

答案： C

2. (昆明期末)方程 $x^{2}-4=0$ 的解是(C)

A.$x = 2$
B.$x=-2$
C.$x_{1}=2,x_{2}=-2$
D.$x = 0$

答案： C

3. 方程 $2x^{2}+2=0$ 的根为(D)

A.1
B.-1
C.$\pm 1$
D.没有实数根

答案： D

4. 对于方程 $x^{2}=p$：
(1)当 $p＞0$ 时，方程有两个不相等的实数根，$x_{1}=$$-\sqrt{p}$，$x_{2}=$$\sqrt{p}$；
(2)当 $p = 0$ 时，方程有两个相等的实数根，$x_{1}=x_{2}=$0；
(3)当 $p＜0$ 时，方程无实数根。

答案：
(1)两个不相等 $-\sqrt{p}$ $\sqrt{p}$
(2)两个相等 0
(3)无实数根

5. 完成下面的解题过程：
（1）解方程：$2x^{2}-8=0$；
解：原方程化成$x^{2}=4$。
开平方，得$x=\pm 2$
（2）解方程：$3(x - 1)^{2}-6=0$。
解：原方程化成$(x-1)^{2}=2$。
开平方，得$x-1=\pm \sqrt{2}$。
则 $x_{1}=$$1+\sqrt{2}$，$x_{2}=$$1-\sqrt{2}$。

答案： （1）$x^{2}=4$ $x=\pm 2$ （2）$(x-1)^{2}=2$ $x-1=\pm \sqrt{2}$ $1+\sqrt{2}$ $1-\sqrt{2}$

6. 用直接开平方法解下列方程：
（1）$x^{2}-16=0$；
（2）$4x^{2}=1$；
（3）$(3x + 2)^{2}=25$；
（4）$3(x + 1)^{2}=\frac{1}{3}$。

答案： 解:
(1)$x^{2}=16$,$x_{1}=4$,$x_{2}=-4$.
(2)$x^{2}=\frac{1}{4}$,$x_{1}=\frac{1}{2}$,$x_{2}=-\frac{1}{2}$.
(3)$3x+2=\pm 5$,$x_{1}=1$,$x_{2}=-\frac{7}{3}$.
(4)$(x+1)^{2}=\frac{1}{9}$,$x+1=\pm \frac{1}{3}$,$x_{1}=-\frac{2}{3}$,$x_{2}=-\frac{4}{3}$.