《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

【例】（教材9上P90习题T14）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论.

答案： 解:△ABC为等边三角形.证明:
∵∠APC=∠ABC,∠CPB=∠BAC,又
∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴∠ACB=60°.
∴△ABC为等边三角形.

1. 如图，四边形APBC是圆内接四边形，延长BP至E，若∠EPA=∠CPA，判断△ABC的形状，并证明你的结论.

答案： 解:△ABC是等腰三角形,证明:
∵四边形APBC是圆内接四边形,
∴∠EPA=∠ACB.
∵∠EPA=∠CPA,∠CPA=∠ABC,
∴∠ACB=∠ABC.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.

2. 如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC=BE，试说明△ADE的形状，并说明理由.

答案： 解:△ADE是等腰三角形.理由如下:
∵A,B,C,D是⊙O上的四点,
∴∠A+∠BCD=180°.
∵∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE,
∴∠BCE=∠E.
∴∠A=∠E.
∴AD=DE,即△ADE是等腰三角形.

3. （昆明官渡区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB.
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB=5√{2}，AD=6，求CD的长.

答案： 解:
(1)△ABC是等腰直角三角形.证明:
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=∠ABC=90°.
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ACB=∠CAB.
∴AB=BC.又
∵∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴BC=AB=5√2.
∴AC=√(AB²+BC²)=10.在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=6,
∴CD=√(AC²-AD²)=8.

4. 如图，△ABC内接于⊙O，P为$\overset{\frown}{AB}$上异于A，B两点的一动点，当△ABC满足一定条件时，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE？若能，请证明；若不能，请说明理由.

答案： 解:能.当AB=AC时,PA平分∠BPC的外角∠CPE.证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.又
∵∠APE+∠APB=180°,∠ACB+∠APB=180°,
∴∠APE=∠ACB.又
∵∠APC=∠ABC,
∴∠APE=∠APC.即AB=AC时,PA平分∠BPC的外角∠CPE.