《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点1 相似三角形性质定理1
相似三角形对应____的比、对应____的比、对应____的比都等于相似比.

答案： 高；中线；角平分线

如图，已知$\triangle ABC\backsim\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，其相似比为$k$，$AD$和$A_{1}D_{1}$分别是$BC$和$B_{1}C_{1}$边上的高，$CF$和$C_{1}F_{1}$分别是$AB$和$A_{1}B_{1}$边上的中线，$BE$和$B_{1}E_{1}$分别是$\angle ABC$和$\angle A_{1}B_{1}C_{1}$的平分线，则$\frac{AD}{A_{1}D_{1}}=$____$=$____$=k$.

答案： $\frac{CF}{C_{1}F_{1}}$；$\frac{BE}{B_{1}E_{1}}$

1. 已知$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，若$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的相似比为$\frac{3}{4}$，则$\triangle ABC$与$\triangle DEF$对应中线的比为（ ）

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{9}{16}$
D.$\frac{16}{9}$

答案： 1.A

2. 如图，已知$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$上的点，且$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，相似比为$1:3$，$AG\perp BC$交$DE$于点$F$，则$AF:FG=$（ ）

A.$1:3$
B.$3:1$
C.$1:2$
D.$2:1$

答案： 2.C

3. 若$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，$AB = 16 cm$，$A'B' = 4 cm$，$AD$平分$\angle BAC$，$A'D'$平分$\angle B'A'C'$，$A'D' = 3 cm$，则$AD=$____$cm$.

答案： 3.12

知识点2 相似三角形性质定理2
相似三角形周长的比等于____.

答案： 相似比

若$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，相似比为$k$，则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长比为____.

答案： 答题卡：
由相似三角形的性质知，若两三角形相似，则它们的对应边之比等于相似比。
设$\triangle ABC$的三边分别为$a, b, c$，$\triangle A'B'C'$的三边分别为$a', b', c'$。
根据题意，有：
$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k$，
三角形的周长为三边之和，所以：
$\frac{a + b + c}{a' + b' + c'} = \frac{k \cdot a' + k \cdot b' + k \cdot c'}{a' + b' + c'} = k \cdot \frac{a' + b' + c'}{a' + b' + c'} = k$，
但由于我们要求的是$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长比，所以应写为：
$\frac{a + b + c}{a' + b' + c'} 的比值为 k（或 \frac{a' + b' + c'的周长对应的比值为 \frac{1}{k} 的倒数形式，但通常我们取正向比）$，
直接给出答案为：
$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长比为$k:1$（或 $k$）。

4. （内江中考）已知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似，且相似比为$1:3$，则$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之比是（ ）

A.$1:1$
B.$1:3$
C.$1:6$
D.$1:9$

答案： 4.B

5. （云南中考）如图，$AB$与$CD$相交于点$O$，且$AC// BD$.若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD}=$____.

答案： 5.$\frac{1}{2}$

知识点3 相似三角形性质定理3
相似三角形面积的比等于相似比的____.

答案： 平方

若$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，相似比为$k$，则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的面积比为____.

答案： $k^2$
解析：因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，已知$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，相似比为$k$，所以它们的面积比为$k^2$。

6. （重庆中考）若两个相似三角形的相似比是$1:3$，则这两个相似三角形的面积比是（ ）

A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:6$
D.$1:9$

答案： 6.D

7. （楚雄期末）如果两个相似三角形的周长比是$4:1$，那么它们的面积比是____.

答案： 7.16:1

8. 已知$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，$\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}$，$\triangle ABC$的周长是$12 cm$，面积是$30 cm^2$.
（1）求$\triangle DEF$的周长；
（2）求$\triangle DEF$的面积.

答案： 8.解:
(1)$\because\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,$\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}$,$\therefore C_{\triangle DEF}=12×\frac{2}{3}=8(cm)$.
(2)$\because\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,$\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}$,$\therefore S_{\triangle DEF}=30×\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{40}{3}(cm^2)$.