《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. (昆明中考) 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$ED$ 切 $\odot O$ 于点 $C$，$AD$ 交 $\odot O$ 于点 $F$，$AC$ 平分 $\angle BAD$，连接 $BF$.
(1) 求证：$AD \perp ED$；
(2) 若 $CD = 4$，$AF = 2$，求 $\odot O$ 的半径.

答案： 1.解:
(1)证明:连接 OC.
∵AC 平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠ACO.
∴∠DAC=∠ACO.
∴OC//AD.
∵ED 切⊙O 于点 C,
∴OC⊥DE.
∴AD⊥ED.
(2)设 OC 交 BF 于点 H.
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠AFB=90°.易得四边形 CDFH 为矩形,
∴FH=CD=4,∠CHF=90°.
∴OH⊥BF.
∴BH=FH=4.
∴BF=8.在 Rt△ABF 中,AB=√(AF²+BF²)=√(2²+8²)=2√17,
∴⊙O 的半径为√17.

2. (昆明中考) 如图，点 $P$ 是 $\odot O$ 的直径 $AB$ 延长线上的一点 $(PB ＜ OB)$，$E$ 是线段 $OP$ 的中点.
(1) 尺规作图：在直径 $AB$ 上方的圆上作一点 $C$，使得 $EC = EP$，连接 $EC$，$PC$ (保留清晰作图痕迹，不要求写作法)，并证明 $PC$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 在 (1) 的条件下，若 $BP = 4$，$EB = 1$，求 $PC$ 的长.

答案：
2.解:
(1)
.证明:连接 OC.
∵E 是线段 OP 的中点,
∴OE=EP.
∵EC=EP,
∴OE=EC=EP.
∴∠COE=∠ECO,∠ECP=∠P.
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P=180°,
∴∠ECO+∠ECP=90°.
∴OC⊥PC.又
∵OC 是⊙O 的半径,
∴PC 是⊙O 的切线.
(2)
∵BP=4,EB=1,
∴OE=EP=BP+EB=5.
∴OP=2OE=10.
∵OC=OB=OE+EB=6.在 Rt△OCP 中,根据勾股定理,得 PC=√(OP²-OC²)=8.

1. (昆明八中月考) 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$DE$ 切 $\odot O$ 于点 $E$，$BD \perp DE$ 于点 $D$，交 $\odot O$ 于点 $C$，连接 $BE$，$OE$.
(1) 求证：$BE$ 平分 $\angle ABC$；
(2) 若 $AB = 10$，$BC = 6$，求 $CD$ 的长.

答案： 1.解:
(1)证明:
∵DE 切⊙O 于点 E,
∴OE⊥ED.
∴∠OED=90°.
∵BD⊥DE,
∴∠D=90°.
∴∠D+∠OED=180°.
∴OE//BD.
∴∠OEB=∠EBD.
∵OB=OE,
∴∠OEB=∠OBE.
∴∠EBD=∠OBE.
∴BE 平分∠ABC.
(2)连接 AC,交 OE 于点 F.
∵AB 是⊙O 的直径,AB=10,
∴∠ACB=90°,OE=5.
∴∠ACD=180°-∠ACB=90°.
∴∠ACD=∠D=∠DEF=90°.
∴四边形 CDEF 是矩形.
∴∠EFC=90°,CD=EF.
∴AF=CF.
∵AO=OB,
∴OF=1/2BC=3.
∴EF=OE-OF=2.
∴CD=2.