《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

【例】已知抛物线 $ y = -x^{2}+bx + 4 $ 经过 $ (-2,n) $ 和 $ (4,n) $ 两点，求 $ b $ 与 $ n $ 的值.
【解题关键】若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为 $ A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) $，且 $ y_{1}=y_{2} $，则 $ A,B $ 两点关于抛物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线 $ x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} $.
解：由 $ y = -x^{2}+bx + 4 $ 可知抛物线的对称轴为直线 $ x = $.$\dfrac{b}{2}$
由抛物线经过 $ (-2,n) $ 和 $ (4,n) $ 两点，可知其对称轴为直线 $ x = $$\dfrac{-2+4}{2}$.
$ \therefore $1=$\dfrac{b}{2}$，解得 $ b = $2. $ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = $$-x^{2}+2x+4$.
将点 $ (-2,n) $ 代入函数解析式，可得 $ n = $$-4$.

答案： 【例】$\dfrac{b}{2}$ $\dfrac{-2+4}{2}$ 1 $\dfrac{b}{2}$ 1 2 $-x^{2}+2x+4$ $-4$

1.(昭通昭阳区期末)已知二次函数的图象经过点 $ (2,4) $ 和 $ (8,4) $，那么该二次函数图象的对称轴是直线$x=5$.

答案： 1.$x=5$

2. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的部分对应值如下表：

则它的图象的对称轴为直线 $ x = $1；当 $ x = 2 $ 时，对应的函数值为$-8$.

答案： 2.1 $-8$

3. 已知二次函数 $ y = -x^{2}-2x + m $ 的部分图象如图所示，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ -x^{2}-2x + m = 0 $ 的解为$x_{1}=-3$,$x_{2}=1$.
【拓展提问】不等式 $ -x^{2}-2x + m\lt0 $ 的解集为________________.

答案： 3.$x_{1}=-3$,$x_{2}=1$ 【拓展提问】 $x ＜ -3$或$x ＞ 1$

微专题3 直线与抛物线的交点问题

【方法指导】(1)若直线 $ y_{1}=kx + h $ 与抛物线 $ y_{2}=ax^{2}+bx + c $ 没有交点，则方程 $ ax^{2}+bx + c = kx + h $ 中 $ \Delta\lt0 $；
(2)若直线 $ y_{1}=kx + h $ 与抛物线 $ y_{2}=ax^{2}+bx + c $ 有一个交点，则方程 $ ax^{2}+bx + c = kx + h $ 中 $ \Delta $$=0$；
(3)如图，直线 $ y_{1}=kx + h $ 与抛物线 $ y_{2}=ax^{2}+bx + c $ 交于点 $ A(m,n),B(p,q) $，则方程 $ ax^{2}+bx + c = kx + h $ 的根为 $ x_{1}=m,x_{2}=p $，不等式 $ y_{1}\lt y_{2} $ 的解集为 $ x\lt m $ 或 $ x\gt p $，不等式 $ y_{1}\gt y_{2} $ 的解集为$m ＜ x ＜ p$.

答案： 【方法指导】
(2)$=0$
(3)$m ＜ x ＜ p$

1. 如图，抛物线 $ y_{1}=ax^{2} $ 与直线 $ y_{2}=bx + c $ 的两个交点坐标分别为 $ A(m,-\frac{9}{4}),B(1,-1) $.

(1)$ m $ 的值为$-\dfrac{3}{2}$，方程 $ ax^{2}-bx - c = 0 $ 的解是$x_{1}=-\dfrac{3}{2}$,$x_{2}=1$；
(2)不等式 $ y_{1}\gt y_{2} $ 的解集是$-\dfrac{3}{2} ＜ x ＜ 1$，不等式 $ y_{1}\leqslant y_{2} $ 的解集是$x \leqslant -\dfrac{3}{2}$或$x \geqslant 1$.

答案： 1.
(1)$-\dfrac{3}{2}$ $x_{1}=-\dfrac{3}{2}$,$x_{2}=1$
(2)$-\dfrac{3}{2} ＜ x ＜ 1$ $x \leqslant -\dfrac{3}{2}$或$x \geqslant 1$

2. 已知二次函数 $ y_{1}=x^{2}+bx - 3 $ 的图象与直线 $ y_{2}=x + 1 $ 交于点 $ A(-1,0) $，$ C(4,m) $.
(1)$ b = $$-2$，$ m = $5.
(2)将直线 $ AC $ 沿 $ y $ 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线解析式.

答案： 2.解:
(1)$-2$ 5
(2)设直线$AC$平移后的解析式为$y=x+k$.联立$\begin{cases} y=x+k, \\ y=x^{2}-2x-3, \end{cases}$得$x^{2}-3x-3-k=0$.$\because$平移后的直线与抛物线只有一个公共点,$\therefore \Delta =(-3)^{2}-4(-k-3)=0$,解得$k=-\dfrac{21}{4}$.$\therefore$平移后的直线解析式为$y=x-\dfrac{21}{4}$.