《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

12. (云南师大附中期末)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 图象如图所示，则关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解是 (C)

A.$ x = -1 $
B.$ x = 3 $
C.$ x = -1 $ 或 $ x = 3 $
D.$ x = 3 $ 或 $ x = -3 $

答案： C

13. (昆明西山区月考)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的部分图象如图所示，对称轴为直线 $ x = -1 $，则当 $ y ＜ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围是 (C)

A.$ x ＜ 1 $
B.$ x ＞ -1 $
C.$ -3 ＜ x ＜ 1 $
D.$ -4 \leq x \leq 1 $

答案： C

14. (云南中考)已知二次函数 $ y = -\frac{3}{16}x^2 + bx + c $ 的图象经过 $ A(0,3) $，$ B(-4, -\frac{9}{2}) $ 两点。
(1) 求 $ b $，$ c $ 的值；
(2) 二次函数 $ y = -\frac{3}{16}x^2 + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况。

答案： 解:
(1)把$A(0,3)$,$B(-4,-\dfrac{9}{2})$分别代入$y=-\dfrac{3}{16}x^{2}+bx+c$,得$\begin{cases} c=3, \\ -\dfrac{3}{16}×16-4b+c=-\dfrac{9}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=\dfrac{9}{8}, \\ c=3. \end{cases}$
(2)由
(1)得,该抛物线解析式为$y=-\dfrac{3}{16}x^{2}+\dfrac{9}{8}x+3$.$\Delta=(\dfrac{9}{8})^{2}-4×(-\dfrac{3}{16})×3=\dfrac{225}{64}＞0$,$\therefore$二次函数$y=-\dfrac{3}{16}x^{2}+bx+c$的图象与$x$轴有公共点.$\because-\dfrac{3}{16}x^{2}+\dfrac{9}{8}x+3=0$的解为$x_{1}=-2$,$x_{2}=8$,$\therefore$公共点的坐标是$(-2,0)$和$(8,0)$.

15. (云南中考)已知 $ k $ 是常数，抛物线 $ y = x^2 + (k^2 + k - 6)x + 3k $ 的对称轴是 $ y $ 轴，并且与 $ x $ 轴有两个交点。
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 若点 $ P $ 在抛物线 $ y = x^2 + (k^2 + k - 6)x + 3k $ 上，且 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离是 2，求点 $ P $ 的坐标。

答案： 解:
(1)$\because$抛物线$y=x^{2}+(k^{2}+k-6)x+3k$的对称轴是$y$轴,$\therefore k^{2}+k-6=0$,解得$k_{1}=-3$,$k_{2}=2$.又$\because$抛物线$y=x^{2}+(k^{2}+k-6)x+3k$与$x$轴有两个交点,$\therefore 3k＜0$.$\therefore k=-3$.
(2)由
(1)得抛物线的关系式为$y=x^{2}-9$.$\because$点$P$在抛物线$y=x^{2}-9$上,且$P$到$y$轴的距离是2,$\therefore$点$P$的横坐标为2或$-2$.当$x=2$时,$y=-5$;当$x=-2$时,$y=-5$.$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-5)$或$(-2,-5)$.

16. 新考向 真实情境 (官渡一中期中)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于 $ y $ 轴对称，$ AE // x $ 轴，$ AB = 4 cm $，最低点 $ C $ 在 $ x $ 轴上，高 $ CH = 1 cm $，$ BD = 2 cm $，则右轮廓 $ DFE $ 所在抛物线的解析式为 (B)


A.$ y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 $
B.$ y = \frac{1}{4}(x - 3)^2 $
C.$ y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 $
D.$ y = -\frac{1}{4}(x - 3)^2 $

答案： B

17. (昆明寻甸县月考)掷实心球是钦州市中考体育科选考项目. 图 1 是几名女生投掷实心球，实心球行进的路线是一条抛物线. 其中一名女生掷出的实心球行进高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的函数关系如图 2 所示，实心球抛出时起点 $ A $ 的高度为 $ \frac{5}{3} m $，当水平距离为 $ 3 m $ 时，实心球行进至最高点 $ 3 m $ 处.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 根据钦州市中考体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于 $ 7.11 m $，此项考试得分为满分. 判断该女生在此项考试中能否得满分，请说明理由。

答案： 解:
(1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y=a(x-3)^{2}+3$.把$(0,\dfrac{5}{3})$代入,得$a(0-3)^{2}+3=\dfrac{5}{3}$,解得$a=-\dfrac{4}{27}$.$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-\dfrac{4}{27}(x-3)^{2}+3$.
(2)该女生在此项考试中能得满分.理由如下:令$y=0$,即$-\dfrac{4}{27}(x-3)^{2}+3=0$,解得$x_{1}=7.5$,$x_{2}=-1.5$(舍去).$\therefore$实心球从起点到落地点的水平距离为$7.5\ m$,大于$7.11\ m$.$\therefore$该女生在此项考试中能得满分.