《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

5. 解方程：
(1)$x^{2}-2x=3$；
(2)$3x^{2}-\sqrt{2}x-\frac{1}{4}=0$；
(3)$2(x + 1)^{2}=x^{2}-1$；
(4)$3x^{2}-6x=4(x - 2)$。

答案： 5.解:
(1)$x^{2}-2x+1=3+1$,即$(x-1)^{2}=4$.$\therefore x-1= \pm 2$.$\therefore x_{1}=3$,$x_{2}=-1$.
(2)$\because a=3$,$b=-\sqrt{2}$,$c=-\dfrac{1}{4}$,$\therefore \Delta =(-\sqrt{2})^{2}-4× 3×\left(-\dfrac{1}{4}\right)=5＞0$.$\therefore x=\dfrac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{5}}{2× 3}$.$\therefore x_{1}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{6}$,$x_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{6}$.
(3)原方程整理,得$(x+1)[2(x+1)-(x-1)]=0$,$(x+1)(2x+2-x+1)=0$,$(x+1)(x+3)=0$,$\therefore x+1=0$或$x+3=0$.$\therefore x_{1}=-1$,$x_{2}=-3$.
(4)整理,得$3x^{2}-10x+8=0$,$(x-2)(3x-4)=0$,则$x-2=0$或$3x-4=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=\dfrac{4}{3}$.

6. 新考向 阅读理解 阅读材料：为解方程$(x^{2}-1)^{2}-3(x^{2}-1)=0$，我们可以将$x^{2}-1$视为一个整体，然后设$x^{2}-1 = y$，将原方程化为$y^{2}-3y = 0$①，解得$y_{1}=0$，$y_{2}=3$。
当$y = 0$时，$x^{2}-1 = 0$，$x^{2}=1$，$\therefore x=\pm1$；
当$y = 3$时，$x^{2}-1 = 3$，$x^{2}=4$，$\therefore x=\pm2$。
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$，$x_{3}=2$，$x_{4}=-2$。
解答问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了的数学的(B)
A. 方程思想
B. 转化思想
C. 数形结合思想
D. 建模思想
(2)利用上述材料中的方法解方程：$(x^{2}+x)^{2}-(x^{2}+x)-2=0$。

答案： 6.解:
(1)B
(2)令$x^{2}+x=m$,则原方程化为$m^{2}-m-2=0$,$\therefore (m-2)(m+1)=0$.$\therefore m-2=0$或$m+1=0$,解得$m=2$或$m=-1$.当$m=2$时,$x^{2}+x=2$,即$x^{2}+x-2=0$,$\therefore (x+2)(x-1)=0$,则$x+2=0$或$x-1=0$,解得$x_{1}=-2$,$x_{2}=1$.当$m=-1$时,$x^{2}+x=-1$,即$x^{2}+x+1=0$,$\because \Delta =1^{2}-4× 1× 1=-3＜0$,$\therefore$此方程无实数根.综上所述,原方程的解为$x_{1}=-2$,$x_{2}=1$.