《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

9. 已知三条线段的长分别为$1\mathrm{cm},2\mathrm{cm},\sqrt{2}\mathrm{cm}$，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为________。

答案： 9.$\sqrt{2}$ cm,$2\sqrt{2}$ cm或$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm

10. 甲、乙两地的实际距离为$20\mathrm{km}$，则在比例尺为$1:1000000$的地图上，两地间的距离应为______$\mathrm{cm}$。

答案： 10.2

11. 如图所示的是两个相似的平行四边形，根据条件可知，$\angle\alpha=$________，$m=$______。

答案： 11.$125^{\circ}$ 12

12. （连云港中考）下列网格中各个小正方形的边长均为$1$，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）


A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁

答案： 12.D

13. 如图，正五边形$FGHMN$与正五边形$ABCDE$相似。若$AB:FG = 2:3$，则下列结论正确的是（ ）


A.$2DE = 3MN$
B.$3DE = 2MN$
C.$3\angle A = 2\angle F$
D.$2\angle A = 3\angle F$

答案： 13.B

14. 新考向 真实情境 为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由$8$块地砖组成，问：
（1）每块地砖的长与宽分别为多少？
（2）这样的地砖与所铺成的每一部分矩形地面是否相似？试证明你的结论。

答案： 14.解:
(1)设矩形地砖的长为$a$ cm，宽为$b$ cm，由图可知$4b=60$，即$b=15$。因为$a+b=60$，所以$a=60 - b=45$。所以矩形地砖的长为45 cm，宽为15 cm。
(2)不相似。证明:因为所铺成矩形地面的长为$2a=2×45=90$ (cm)，宽为60 cm，所以$\frac{长}{宽}=\frac{90}{60}=\frac{3}{2}$。因为$\frac{a}{b}=\frac{45}{15}=\frac{3}{1}$，$\frac{3}{2}\neq\frac{3}{1}$，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例，所以它们不相似。

15. 如图，矩形$ABCD$的长$AB = 30$，宽$BC = 20$。
（1）如图1，若矩形$ABCD$四周有宽为$1$的环形区域，则图中所形成的两个矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$相似吗？请说明理由；
（2）如图2，$x$为多少时，图中的两个矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$相似？

答案： 15.解:
(1)不相似，理由:$AB=30$，$A'B'=28$，$BC=20$，$B'C'=18$，而$\frac{28}{30}\neq\frac{18}{20}$，故矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$不相似。
(2)矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似，则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$。即$\frac{30 - 2x}{30}=\frac{20 - 2}{20}$或$\frac{30 - 2x}{20}=\frac{20 - 2}{30}$，解得$x=1.5$或$x=9$。故当$x=1.5$或$x=9$时，矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似。