《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点1 二次函数的定义
一般地，形如 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a $，$ b $，$ c $ 是常数，$ a $0)的函数，叫做二次函数，其中 $ x $ 是自变量，$ a $，$ b $，$ c $ 分别是函数解析式的、一次项系数和。

答案： $ \neq$；二次项系数；常数项

1.(怀化中考)下列函数是二次函数的是(C)

A.$ y = 3x + 1 $
B.$ y = - 3x + 1 $
C.$ y = x^{2} + 2 $
D.$ y = \frac{1}{2}x - 2 $

答案： 1.C

2.（昆明盘龙区期末）若函数 $ y = (m + 1)x^{2} + 3x + 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ m $ 的取值范围是______。

答案： 2.$m\neq -1$

3.已知二次函数 $ y = x^{2} + 3x - 2 $。
(1)当 $ x = - 1 $ 时，$ y = $-4；
(2)当 $ y = 2 $ 时，$ x = $1或-4。

答案： 3.
(1)-4
(2)1或-4

4.下列函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数 $ a $、一次项系数 $ b $ 和常数项 $ c $。

答案： 4.是 3 2 -3 是 -2 0 -7 是 -1 1 0 不是

5.(教材9上P41习题T2变式)(昆明东川区期中)公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售 $ y $ 个。设7月份到9月份销售量的月平均增长率为 $ x $，那么 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为(A)

A.$ y = 1500(1 + x)^{2} $
B.$ y = 1500(1 - x)^{2} $
C.$ y = (1 + x)^{2} + 1500 $
D.$ y = x^{2} + 1500 $

答案： 5.A

6. 新考向 真实情境
如图，用16m长的篱笆围成矩形生物园饲养小兔，设围成的矩形生物园的长为 $ x $ m，则围成的矩形生物园的面积 $ S(m^{2}) $ 与 $ x $ 的函数解析式是$S=-x^{2}+8x$。(不要求写自变量 $ x $ 的取值范围)

答案： 6.$S=-x^{2}+8x$

7.已知一个菱形两条对角线的长的和为24cm，设其中一条对角线的长为 $ x $ cm，菱形的面积为 $ S $ $ cm^{2} $，则 $ S(cm^{2}) $ 与 $ x(cm) $ 之间的函数关系式为$S=-\frac {1}{2}x^{2}+12x$，自变量 $ x $ 的取值范围是$0＜x＜24$。

答案： 7.$S=-\frac {1}{2}x^{2}+12x$ $0＜x＜24$

8.（教材9上P28问题1变式）某校九（1）班共有 $ x $ 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手 $ y $ 次，试写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式，并判断 $ y $ 是不是 $ x $ 的二次函数。

答案： 8.解:$y=\frac {1}{2}x(x-1)=\frac {1}{2}x^{2}-\frac {1}{2}x$.y是x的二次函数.

9.(昆明期中)若函数 $ y = (m + 2)x^{|m|} + 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ m = $2。

答案： 9.2

10.(本课时T9变式)(昆明官渡区期末)若函数 $ y = (m - 3)x^{m^{2} - 7} $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ m $ 的值为-3。

答案： 10.-3